Merhaba sevgili 9. sınıf öğrencileri!

Bu ders notu, "Gerçek Sayılarda Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri" konusundaki bilgilerinizi pekiştirmek ve sınava hazırlanırken başvurabileceğiniz kapsamlı bir tekrar sağlamak amacıyla hazırlandı. Doğrusal fonksiyonlar, matematiğin temel taşlarından biri olup, hem günlük hayatta karşılaştığımız birçok durumu modellemede hem de ileri matematik konularına sağlam bir zemin oluşturmada kritik bir role sahiptir. Bu notlar sayesinde, doğrusal fonksiyonların ne olduğunu, nasıl çalıştığını, grafiklerini nasıl yorumlayacağınızı ve farklı problem türlerinde nasıl uygulayacağınızı adım adım öğreneceksiniz.

Doğrusal Fonksiyon Nedir?

• Bir fonksiyonun cebirsel ifadesi f(x) = ax + b şeklinde ise, bu fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Burada 'a' ve 'b' gerçek sayılardır ve 'a' sıfırdan farklı olmalıdır (a ≠ 0).
• Eğer a = 0 ise, f(x) = b şeklinde bir sabit fonksiyon elde edilir. Sabit fonksiyonlar da doğrusal fonksiyonların özel bir halidir.
• Doğrusal fonksiyonların grafiği dik koordinat düzleminde her zaman bir doğru belirtir.

Doğrunun Eğimi (m)

• Eğim, bir doğrunun yatay eksenle yaptığı açının tanjantı olarak veya dikeydeki değişimin yataydaki değişime oranı olarak tanımlanır.
• Cebirsel İfadeyle Eğim: f(x) = ax + b şeklindeki bir doğrusal fonksiyonda, x'in katsayısı olan 'a' değeri doğrunun eğimidir (m = a).
• İki Noktadan Eğim Hesaplama: Eğer doğrunun geçtiği iki nokta (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) biliniyorsa, eğim şu formülle bulunur:
  m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• Eğimin Yorumu:
  • m > 0 (Pozitif Eğim): Fonksiyon artandır. Grafik sağa yatıktır. x değerleri arttıkça y değerleri de artar.
  • m < 0 (Negatif Eğim): Fonksiyon azalandır. Grafik sola yatıktır. x değerleri arttıkça y değerleri azalır.
  • m = 0 (Sıfır Eğim): Fonksiyon sabittir (f(x) = b). Grafik x eksenine paraleldir (yatay doğru).
  • Tanımsız Eğim: x = c şeklindeki doğruların eğimi tanımsızdır. Grafik y eksenine paraleldir (dikey doğru).

⚠️ Dikkat: Eşitsizliklerle işlem yaparken, bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizlik yön değiştirir. Bu kural, fonksiyonların artanlık/azalanlık ispatlarında veya aralık problemlerinde kritik öneme sahiptir.

Doğrusal Fonksiyon Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

• Bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. Genellikle eksenleri kestiği noktalar kullanılır.
• x eksenini kestiği nokta (Fonksiyonun Sıfırı/Kökü): Fonksiyonun y değerinin sıfır olduğu noktadır. Yani f(x) = 0 denklemini sağlayan x değeridir. (x, 0) noktasıdır.
• y eksenini kestiği nokta: Fonksiyonun x değerinin sıfır olduğu noktadır. Yani f(0) değeridir. (0, y) noktasıdır. f(x) = ax + b fonksiyonunda bu nokta (0, b) dir.

Doğrusal Fonksiyonun Denklemini Yazma

• Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi: Eğimi m olan ve (x₁, y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi:
  y - y₁ = m(x - x₁)
• İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi: Önce verilen iki noktadan eğim (m) hesaplanır, ardından eğim ve bu noktalardan herhangi biri kullanılarak yukarıdaki formülle denklem yazılır.
• Eksenleri Kestiği Noktalar Bilinen Doğru Denklemi: x eksenini (x₀, 0) ve y eksenini (0, y₀) noktasında kesen doğrunun denklemi:
  x/x₀ + y/y₀ = 1

Doğrusal Fonksiyonların Nitel Özellikleri

• Artanlık ve Azalanlık: Daha önce de belirtildiği gibi, eğim (a) pozitifse fonksiyon artan, negatifse azalandır.
• Maksimum ve Minimum Değerler: Doğrusal fonksiyonlar, kapalı bir aralıkta ([c, d] gibi) tanımlandığında, maksimum ve minimum değerlerini bu aralığın uç noktalarında alırlar.
  • Eğer fonksiyon artansa, f(c) minimum, f(d) maksimum değerdir.
  • Eğer fonksiyon azalansa, f(c) maksimum, f(d) minimum değerdir.
• Fonksiyonun Sıfırı (Kökü): f(x) = 0 denklemini sağlayan x değeridir. Grafiğin x eksenini kestiği noktadır.
• İşaret Tablosu: Bir fonksiyonun hangi x değerleri için pozitif, hangi x değerleri için negatif olduğunu gösteren tablodur. Doğrusal fonksiyonlar için, kök (fonksiyonun sıfırı) etrafında işaret değiştirirler.
  • Eğer fonksiyon artansa, kökün solunda negatif, sağında pozitif işaret alır.
  • Eğer fonksiyon azalansa, kökün solunda pozitif, sağında negatif işaret alır.

💡 İpucu: Bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizdiğinizde, x ekseninin altında kalan kısımlarda fonksiyonun değeri negatif, x ekseninin üstünde kalan kısımlarda ise pozitiftir.

Parçalı Tanımlı Fonksiyonlar

• Tanım kümesinin farklı alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir.
• Bu fonksiyonlarda belirli bir x değeri için fonksiyonun değerini bulurken, öncelikle x değerinin hangi aralığa düştüğünü belirlemeli ve o aralığa karşılık gelen kuralı kullanmalısınız.

⚠️ Dikkat: Parçalı tanımlı fonksiyonlarda sınır noktalarının hangi kurala dahil olduğuna (örneğin, x < 2 mi yoksa x ≤ 2 mi) çok dikkat edin. Bu, fonksiyonun değerini doğru hesaplamanız için önemlidir.

Doğrusal Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

• Doğrusal fonksiyonlar, birçok gerçek hayat durumunu modellemek için kullanılır:
  • Yol-zaman-hız ilişkileri
  • Ürün miktarı-maliyet/kar ilişkileri
  • Boy-zaman ilişkileri (bitki büyümesi, mumun erimesi vb.)
  • Sıcaklık değişimi
• Bu tür problemlerde genellikle x ekseni zamanı, y ekseni ise değişen miktarı (yol, boy, kar, sıcaklık vb.) temsil eder.
• Grafik Yorumlama: Gerçek hayat problemlerinde verilen grafikleri doğru okumak ve yorumlamak, fonksiyonun başlangıç değerini, değişim hızını (eğimi) ve belirli bir andaki durumunu anlamak için çok önemlidir.
• İki Fonksiyonun Kesişimi: İki farklı doğrusal fonksiyonun grafiğinin kesiştiği nokta, iki durumun eşitlendiği anı veya değeri gösterir. Bu noktayı bulmak için iki fonksiyonun denklemleri birbirine eşitlenir.

💡 İpucu: Gerçek hayat problemlerinde "hız", "değişim oranı", "birim başına maliyet" gibi ifadeler genellikle eğimi temsil eder. "Başlangıç değeri", "sabit ücret" gibi ifadeler ise y eksenini kestiği noktayı (sabit terim b) temsil edebilir.

Bu ders notları, doğrusal fonksiyonlar konusundaki temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan problem türlerini kapsamaktadır. Konuları tekrar ederken bu notları kullanmanız ve bol bol pratik yapmanız başarınızı artıracaktır. Unutmayın, matematik sadece formülleri ezberlemek değil, aynı zamanda problemleri anlama ve farklı yaklaşımlarla çözme becerisidir. Başarılar dilerim!