Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri!

Bu ders notu, "Çarpanlar ve Katlar" ünitesindeki bilgilerinizi pekiştirmek ve karşılaştığınız karma testlerdeki başarı oranınızı artırmak amacıyla hazırlandı. Karşılaştığınız testteki soruların genel analizine göre, bu notlar size hem temel kavramları hatırlatacak hem de problem çözme stratejileri konusunda önemli ipuçları sunacaktır. Unutmayın, düzenli tekrar ve bol soru çözümü başarının anahtarıdır!

🎓 8. sınıf Çarpanlar ve Katlar Karma Test 2 - Ders Notu ve İpuçları

Bu test, pozitif tam sayıların çarpanları, asal çarpanlar, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramları ile bu kavramların günlük hayat problemlerine uygulanmasını kapsamaktadır. Özellikle EBOB ve EKOK'un farklı problem tiplerindeki kullanımı, aralarında asal sayılar ve EBOB-EKOK ilişkileri üzerinde durulmuştur.

1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları (Bölenleri) ve Asal Çarpanlar

• Çarpan (Bölen): Bir sayıyı kalansız bölen her sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Örneğin, 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.
• Asal Sayı: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır. (2, 3, 5, 7, 11, ...)
• Asal Çarpan: Bir sayının çarpanları arasında asal olan sayılara o sayının asal çarpanları denir.
• Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir. Bu işlem genellikle çarpan ağacı veya asal çarpanlar algoritması (bölme çizgisi) ile yapılır.
  • Örnek: 72 = 2³ . 3²

⚠️ Dikkat: 1 sayısı asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2'dir.

2. En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyük olana bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir.

• EBOB Bulma Yöntemleri:
  • Ortak Bölen Listesi: Sayıların tüm bölenleri yazılır, ortak olanlar belirlenir ve en büyüğü seçilir.
  • Asal Çarpanlara Ayırma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar çarpılarak EBOB bulunur.
    • Örnek: A = 2³ . 3² . 5 ve B = 2² . 3 . 7 ise, EBOB(A,B) = 2² . 3 = 12
  • Bölme Algoritması (Ortak Bölen Çizgisi): Sayılar yan yana yazılıp asal sayılara bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal sayılar işaretlenir ve bu işaretli sayılar çarpılarak EBOB bulunur.
• EBOB Problemleri (Ayırma, Bölme, Gruplama):
  • Büyük parçalardan küçük ve eşit parçalar elde ediliyorsa (kumaş kesme, tarlayı parsellere ayırma, sıvıları şişelere doldurma, fayans döşeme).
  • Bir bütünün eşit büyüklükte parçalara ayrılması isteniyorsa.
  • "En büyük", "en uzun", "en geniş", "en fazla" gibi ifadeler genellikle EBOB'u işaret eder.

💡 İpucu: EBOB, verilen sayılardan daha küçük veya sayılardan birine eşit olur.

3. En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif olana bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir.

• EKOK Bulma Yöntemleri:
  • Ortak Kat Listesi: Sayıların katları yazılır, ortak olanlar belirlenir ve en küçüğü seçilir.
  • Asal Çarpanlara Ayırma: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanlar çarpılarak EKOK bulunur.
    • Örnek: A = 2³ . 3² . 5 ve B = 2² . 3 . 7 ise, EKOK(A,B) = 2³ . 3² . 5 . 7 = 2520
  • Bölme Algoritması (Ortak Bölen Çizgisi): Sayılar yan yana yazılıp asal sayılara bölünür. Tüm asal çarpanlar (işaretli veya işaretsiz) çarpılarak EKOK bulunur.
• EKOK Problemleri (Birleştirme, Buluşturma, Periyodik Durumlar):
  • Küçük parçalardan büyük bir bütün elde ediliyorsa (tuğlalarla duvar örme, fayanslarla kare oluşturma).
  • Farklı zamanlarda gerçekleşen olayların tekrar ne zaman birlikte gerçekleşeceği soruluyorsa (nöbet tutma, otobüs seferleri, zillerin çalması).
  • "En küçük", "en az", "ilk kez", "birlikte" gibi ifadeler genellikle EKOK'u işaret eder.

💡 İpucu: EKOK, verilen sayılardan daha büyük veya sayılardan birine eşit olur.

4. EBOB ve EKOK Arasındaki Önemli İlişkiler

• İki Sayının Çarpımı ile EBOB ve EKOK İlişkisi: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
  • A . B = EBOB(A,B) . EKOK(A,B)
  • Bu formül, sorularda verilen bilgilerden yola çıkarak eksik olanı bulmak için sıkça kullanılır.
• Aralarında Asal Sayılar: EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir.
  • Aralarında asal sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
  • Aralarında asal sayıların EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. (EKOK(A,B) = A . B)
  • ⚠️ Dikkat: Sayıların asal olması gerekmez, sadece EBOB'larının 1 olması yeterlidir. Örneğin, 8 ve 9 aralarında asaldır.
• Birbirinin Tam Katı Olan Sayılar:
  • Birbirinin tam katı olan sayılarda EBOB, küçük sayıya eşittir. (Örn: EBOB(4, 8) = 4)
  • Birbirinin tam katı olan sayılarda EKOK, büyük sayıya eşittir. (Örn: EKOK(4, 8) = 8)

5. Kalanlı Bölme ve EBOB/EKOK İlişkisi

• Artan Kalan Durumları (EKOK + Kalan):
  • Bir sayı, farklı sayılara bölündüğünde her seferinde aynı kalanı veriyorsa, bu sayı EKOK(bölenler) + kalan şeklinde bulunur.
    • Örnek: Bir sayı 6'ya bölündüğünde 3, 10'a bölündüğünde 3 kalanını veriyorsa, bu sayı EKOK(6, 10) + 3'tür.
• Eksik Kalan Durumları (EKOK - Fark):
  • Bir sayı, farklı sayılara bölündüğünde kalanlar farklı olsa da, bölen ile kalan arasındaki fark her zaman eşitse, bu sayı EKOK(bölenler) - fark şeklinde bulunur.
    • Örnek: Bir sayı 6'ya bölündüğünde 3, 10'a bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa (6-3=3, 10-7=3), bu sayı EKOK(6, 10) - 3'tür.

⚠️ Dikkat: Problemde "en az" veya "en küçük" ifadesi varsa genellikle EKOK kullanılır. "En çok" veya "en büyük" ifadesi varsa genellikle EBOB kullanılır. Ancak bu bir kural değil, bir ipucudur. Problemin mantığını anlamak daha önemlidir.

6. Problem Çözme Stratejileri

• Soruyu Anla: Problemi dikkatlice oku ve ne istendiğini belirle. Verilen bilgileri ve anahtar kelimeleri (en az, en çok, birlikte, ayırma, birleştirme vb.) not al.
• EBOB mu EKOK mu?:
  • Büyük bir bütünü küçük eşit parçalara ayırma, gruplama, bölme durumlarında genellikle EBOB kullanılır.
  • Küçük parçaları bir araya getirerek büyük bir bütün oluşturma, periyodik olayların tekrar bir araya gelme durumlarında genellikle EKOK kullanılır.
• Hesapla: Seçtiğin yönteme göre EBOB veya EKOK'u doğru bir şekilde hesapla.
• Kontrol Et: Bulduğun sonucun problemin koşullarına uygun olup olmadığını kontrol et. Özellikle kalanlı bölme problemlerinde veya belirli bir aralıkta sayı arandığında bu kontrol çok önemlidir.

Bu ders notları, "Çarpanlar ve Katlar" ünitesindeki temel bilgileri ve problem çözme yaklaşımlarını özetlemektedir. Konuları tekrar ederken ve soru çözerken bu notlardan faydalanmanız, konuyu daha iyi anlamanıza ve sınavda başarılı olmanıza yardımcı olacaktır. Başarılar dilerim!