Merhaba sevgili 9. sınıf öğrencileri! 👋

Bu ders notu, "9. Sınıf Aralıkların Mutlak Değer Gösterimi Test 3" testindeki soruları temel alarak, mutlak değer ve eşitsizlikler konusundaki bilgilerinizi pekiştirmek için hazırlandı. Amacımız, bu konuyu tüm yönleriyle anlamanızı ve sınavlarınızda başarılı olmanızı sağlamak. Hazırsanız, konuyu derinlemesine inceleyelim! 🚀

🎯 Testin Kapsadığı Ana Konular:

• Mutlak değerin tanımı ve sayı doğrusunda uzaklık anlamı.
• Mutlak değerli ifadelerde değer hesaplama.
• Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve çözüm kümelerinin bulunması.
• Sayı doğrusunda verilen aralıkları mutlak değerli eşitsizlik şeklinde ifade etme.
• Mutlak değerli eşitsizlikleri aralık gösterimi veya birleşim şeklinde yazma.
• Günlük hayattaki sözel problemleri mutlak değerli eşitsizliklere dönüştürme.

📚 Konu Anlatımı: Mutlak Değer ve Eşitsizlikler

1. 📏 Mutlak Değer Nedir? (Tanımı ve Uzaklık Anlamı)

Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktası olan sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerin sonucu her zaman pozitif veya sıfırdır.

• Tanım: Bir x gerçel sayısının mutlak değeri |x| ile gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:
  • Eğer x ≥ 0 ise, |x| = x
  • Eğer x < 0 ise, |x| = -x
• Uzaklık Anlamı: Sayı doğrusu üzerinde a ve b noktaları arasındaki uzaklık |a - b| veya |b - a| şeklinde ifade edilir. Bu iki ifade birbirine eşittir (|a - b| = |b - a|).

Örnek: |5| = 5, |-7| = -(-7) = 7, |0| = 0

2. 🔢 Mutlak Değerli İfadelerde İşlem Yapma

Mutlak değerli ifadelerin değerini hesaplarken, öncelikle mutlak değerin içindeki ifadenin işaretine bakılır. Eğer içindeki ifade pozitifse aynen çıkar, negatifse önüne eksi alarak çıkar.

• Adımlar:
  1. Verilen değişkenin değerini mutlak değerin içine yazın.
  2. Mutlak değerin içindeki ifadenin sonucunu bulun.
  3. Bu sonucun işaretine göre mutlak değeri dışarı çıkarın.

Örnek: x = 3 için |x - 5| ifadesinin değeri:
|3 - 5| = |-2|. İçerisi negatif olduğu için önüne eksi alarak çıkar: -(-2) = 2.

3. ⚖️ Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Çözüm Yöntemleri

Mutlak değerli eşitsizlikler, mutlak değer içeren ve bir eşitsizlik sembolü (<, >, ≤, ≥) ile ifade edilen matematiksel ifadelerdir. Çözüm yöntemleri, eşitsizlik sembolüne göre değişir.

a) 📉 |x| < a veya |x| ≤ a Durumu (İçerideki Aralık)

Eğer a > 0 olmak üzere |x| < a ise, x değeri -a ile a arasındadır. Yani -a < x < a olur.

Eğer a > 0 olmak üzere |x| ≤ a ise, x değeri -a ile a arasında veya bu değerlere eşit olabilir. Yani -a ≤ x ≤ a olur.

• Genel Formül: |Ax + B| < C ise -C < Ax + B < C
• Genel Formül: |Ax + B| ≤ C ise -C ≤ Ax + B ≤ C

Örnek: |x - 2| < 5 eşitsizliğinin çözümü:
-5 < x - 2 < 5
Her tarafa 2 eklersek:
-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
-3 < x < 7. Çözüm kümesi (-3, 7) aralığıdır.

b) 📈 |x| > a veya |x| ≥ a Durumu (Dışarıdaki Aralıklar)

Eğer a > 0 olmak üzere |x| > a ise, x değeri a'dan büyük veya -a'dan küçüktür. Yani x > a veya x < -a olur.

Eğer a > 0 olmak üzere |x| ≥ a ise, x değeri a'ya eşit veya a'dan büyük, ya da -a'ya eşit veya -a'dan küçüktür. Yani x ≥ a veya x ≤ -a olur.

• Genel Formül: |Ax + B| > C ise Ax + B > C veya Ax + B < -C
• Genel Formül: |Ax + B| ≥ C ise Ax + B ≥ C veya Ax + B ≤ -C

Örnek: |x + 1| ≥ 4 eşitsizliğinin çözümü:
x + 1 ≥ 4 veya x + 1 ≤ -4
x ≥ 3 veya x ≤ -5. Çözüm kümesi (-∞, -5] U [3, ∞) aralığıdır.

4. ↔️ Sayı Doğrusu ve Aralık Gösterimi

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümeleri genellikle aralıklar veya aralıkların birleşimi şeklinde ifade edilir ve sayı doğrusunda gösterilebilir.

a) ➡️ Kapalı Aralıkları Mutlak Değere Çevirme

Bir [a, b] kapalı aralığını |x - orta_nokta| ≤ yarı_uzunluk şeklinde yazabiliriz.

• Orta Nokta (Merkez): (a + b) / 2
• Yarı Uzunluk (Yarıçap): (b - a) / 2

Örnek: [3, 10] aralığını mutlak değerli eşitsizli