Soru Çözümü
- İlk sıçramanın yüksekliği $H_1 = 64 \cdot 27^{x-2}$ cm olarak verilmiştir.
- Her sıçramada bir önceki yüksekliğin $\frac{3}{4}$'ü kadar yükseldiği için, 4. sıçramanın yüksekliği $H_4$ şu şekilde bulunur:
$H_4 = H_1 \cdot (\frac{3}{4})^3$ - $H_4$ ifadesini yerine yazarsak:
$H_4 = 64 \cdot 27^{x-2} \cdot \frac{3^3}{4^3} = 64 \cdot 27^{x-2} \cdot \frac{27}{64}$ - $H_4 = 27^{x-2} \cdot 27^1 = 27^{x-2+1} = 27^{x-1}$ cm olur.
- Soruda verilen koşul $H_4 < 81^{8-x}$ cm'dir.
$27^{x-1} < 81^{8-x}$ - Eşitsizliğin her iki tarafını 3 tabanında yazalım: ($27=3^3$, $81=3^4$)
$(3^3)^{x-1} < (3^4)^{8-x}$
$3^{3(x-1)} < 3^{4(8-x)}$
$3^{3x-3} < 3^{32-4x}$ - Tabanlar aynı ve 1'den büyük olduğu için üsleri karşılaştırabiliriz:
$3x-3 < 32-4x$ - Eşitsizliği çözelim:
$3x+4x < 32+3$
$7x < 35$
$x < 5$ - x'in alabileceği pozitif tam sayı değerleri $1, 2, 3, 4$'tür.
- Bu değerlerin toplamı $1+2+3+4 = 10$'dur.
- Doğru Seçenek B'dır.