Soru Çözümü
- Verilen eşitsizlik $27^{x-1} \le 81^{8-x}$ şeklindedir.
- Eşitsizliğin her iki tarafını aynı tabanda yazmak için $27 = 3^3$ ve $81 = 3^4$ ifadelerini kullanırız.
- Eşitsizlik $ (3^3)^{x-1} \le (3^4)^{8-x} $ haline gelir.
- Üslü sayı kuralı $(a^m)^n = a^{mn}$ uygulanırsa, $3^{3(x-1)} \le 3^{4(8-x)}$ olur.
- Üsler dağıtıldığında $3^{3x-3} \le 3^{32-4x}$ elde edilir.
- Tabanlar aynı ve $3 > 1$ olduğu için üsler arasındaki eşitsizlik yön değiştirmez: $3x-3 \le 32-4x$.
- Eşitsizliği çözmek için $4x$'i sola, $-3$'ü sağa atarız: $3x + 4x \le 32 + 3$.
- Buradan $7x \le 35$ bulunur.
- Her iki tarafı $7$'ye böldüğümüzde $x \le 5$ sonucuna ulaşırız.
- Bu eşitsizliği sağlayan doğal sayılar $1, 2, 3, 4, 5$'tir.
- Bu doğal sayıların toplamı $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$'tir.
- Doğru Seçenek C'dır.