Soru Çözümü
- Verilen fonksiyonlar $f(x) = x + a$ ve $g(x) = b - |f(x)|$ şeklindedir. $f(x)$'i $g(x)$'te yerine yazarsak, $g(x) = b - |x+a|$ elde ederiz.
- $|x+a|$ ifadesi daima $0$'a eşit veya $0$'dan büyüktür ($|x+a| \ge 0$). Bu nedenle, $g(x)$ fonksiyonunun maksimum değeri, $|x+a|$ ifadesi en küçük değerini, yani $0$'ı aldığında gerçekleşir.
- $|x+a|=0$ olduğunda $g(x)$'in maksimum değeri $b - 0 = b$ olur. Soruda maksimum değerin $5$ olduğu belirtildiğinden, $b = 5$'tir.
- $g(x)$ fonksiyonunun sıfırları $-7$ ve $3$ olarak verilmiştir. Bu, $g(-7) = 0$ ve $g(3) = 0$ demektir.
- $g(-7) = 0$ denklemini kullanalım: $b - |-7+a| = 0$. $b=5$ olduğunu bildiğimizden, $5 - |-7+a| = 0 \Rightarrow |-7+a| = 5$.
- Mutlak değer denklemini çözersek: $-7+a = 5$ veya $-7+a = -5$. Buradan $a = 12$ veya $a = 2$ bulunur.
- $g(3) = 0$ denklemini kullanalım: $b - |3+a| = 0$. $b=5$ olduğunu bildiğimizden, $5 - |3+a| = 0 \Rightarrow |3+a| = 5$.
- Mutlak değer denklemini çözersek: $3+a = 5$ veya $3+a = -5$. Buradan $a = 2$ veya $a = -8$ bulunur.
- Her iki denklemden de ortak olarak elde ettiğimiz $a$ değeri $2$'dir. Yani $a = 2$.
- Son olarak, $a \cdot b$ çarpımını hesaplayalım: $a \cdot b = 2 \cdot 5 = 10$.
- Doğru Seçenek A'dır.