Soru Çözümü
- Adım 1: Fonksiyonun yapısını inceleyelim.
Verilen fonksiyon $f(x) = -|x + 7| + 1$'dir. Bu bir mutlak değer fonksiyonudur. Mutlak değerin içini sıfır yapan değer $x+7=0 \Rightarrow x=-7$'dir. Bu nokta fonksiyonun tepe noktasıdır. Tepe noktasının y-değeri $f(-7) = -|-7+7|+1 = 1$'dir. Yani tepe noktası $(-7, 1)$'dir. Mutlak değerin önündeki eksi işareti nedeniyle grafik aşağıya doğru açılır.- $x < -7$ için $x+7 < 0$, dolayısıyla $|x+7| = -(x+7)$ olur. Bu durumda $f(x) = -(-(x+7)) + 1 = x+7+1 = x+8$. Bu aralıkta fonksiyon artandır.
- $x \ge -7$ için $x+7 \ge 0$, dolayısıyla $|x+7| = x+7$ olur. Bu durumda $f(x) = -(x+7) + 1 = -x-7+1 = -x-6$. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- Adım 2: I. öncülü kontrol edelim.
I. "$(-5, 2)$ aralığındaki parçası bire birdir."
$(-5, 2)$ aralığı, fonksiyonun $x \ge -7$ olduğu bölgededir. Bu bölgede fonksiyon $f(x) = -x-6$ şeklinde azalandır. Azalan (veya artan) bir fonksiyon, belirtilen aralıkta bire birdir. Dolayısıyla I. öncül doğrudur. - Adım 3: II. öncülü kontrol edelim.
II. "$[-7, -5]$ aralığındaki parçasının görüntü kümesi $[-1, 1]$ dir."
$[-7, -5]$ aralığı da fonksiyonun $x \ge -7$ olduğu bölgededir ve fonksiyon $f(x) = -x-6$ şeklinde azalandır. Azalan bir fonksiyonun görüntü kümesini bulmak için aralığın uç noktalarındaki değerlerini hesaplarız:- $f(-7) = -(-7)-6 = 7-6 = 1$.
- $f(-5) = -(-5)-6 = 5-6 = -1$.
- Adım 4: III. öncülü kontrol edelim.
III. "Sıfırlarının toplamı $-14$'tür."
Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için $f(x) = 0$ denklemini çözelim: $$-|x + 7| + 1 = 0$$ $$|x + 7| = 1$$ Bu denklem iki farklı çözüm verir:- $x + 7 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 - 7 = -6$.
- $x + 7 = -1 \Rightarrow x_2 = -1 - 7 = -8$.
- Doğru Seçenek E'dır.