Soru Çözümü
- Verilen fonksiyon $f(x) = |x - 5| - 3$'tür. Bu bir mutlak değer fonksiyonudur ve grafiği V şeklindedir.
- Mutlak değerin içini sıfır yapan değer $x = 5$'tir. Bu nokta fonksiyonun tepe noktasıdır.
- Tepe noktasının y değeri $f(5) = |5 - 5| - 3 = 0 - 3 = -3$'tür. Yani tepe noktası $(5, -3)$'tür.
- A) İşaret tablosu: Fonksiyonun köklerini bulalım: $|x - 5| - 3 = 0 \implies |x - 5| = 3$. Buradan $x - 5 = 3 \implies x = 8$ veya $x - 5 = -3 \implies x = 2$ bulunur. Kökler $x=2$ ve $x=8$'dir. Tepe noktası $y=-3$ olduğundan, kökler arasında fonksiyon negatif, köklerin dışında pozitiftir. Verilen işaret tablosu bu durumu doğru yansıtmaktadır. Bu ifade doğrudur.
- B) Görüntü kümesi: Fonksiyonun minimum değeri tepe noktasında $f(5) = -3$'tür. Grafik yukarı doğru açıldığı için fonksiyonun alabileceği en küçük değer $-3$'tür. Dolayısıyla görüntü kümesi $[-3, \infty)$'dur. Bu ifade doğrudur.
- C) $x < 5$ için azalandır: $x < 5$ olduğunda $x - 5 < 0$ olur, bu durumda $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$'tir. Fonksiyon $f(x) = -x + 5 - 3 = -x + 2$ halini alır. Bu, eğimi negatif ($-1$) olan bir doğru denklemidir. Eğim negatif olduğu için $x < 5$ aralığında fonksiyon azalandır. Bu ifade doğrudur.
- D) $(0, 4)$ aralığında bire birdir: $(0, 4)$ aralığı tamamen $x < 5$ koşulunu sağlar. C seçeneğinde belirtildiği gibi, $x < 5$ için fonksiyon azalandır. Azalan bir fonksiyon o aralıkta bire birdir. Bu ifade doğrudur.
- E) $(3, 6)$ aralığında bire birdir: $(3, 6)$ aralığı tepe noktası olan $x=5$'i içermektedir. $x < 5$ için fonksiyon azalan iken, $x > 5$ için fonksiyon artandır. Bu aralıkta fonksiyon hem azalmakta hem de artmaktadır. Örneğin, $f(4) = |4 - 5| - 3 = |-1| - 3 = 1 - 3 = -2$ ve $f(6) = |6 - 5| - 3 = |1| - 3 = 1 - 3 = -2$'dir. $f(4) = f(6)$ olmasına rağmen $4 \neq 6$ olduğu için fonksiyon $(3, 6)$ aralığında bire bir değildir. Bu ifade yanlıştır.
- Doğru Seçenek E'dır.