Soru Çözümü
- Verilen $f(x)$ fonksiyonu bir parçalı fonksiyondur. Grafiği V şeklinde aşağıya doğru açılan bir mutlak değer fonksiyonu grafiğine benzer. Bu fonksiyonun tepe noktası, $2x-4 = -2x+12$ denkleminin çözümüdür.
- Denklemi çözersek: $4x = 16 \implies x = 4$. Bu noktadaki $y$ değeri $y = 2(4)-4 = 4$'tür. Yani $f(x)$'in tepe noktası $(4,4)$'tür.
- $g(x) = -|bx - 8| + 4$ fonksiyonu da bir mutlak değer fonksiyonudur. Bu fonksiyonun tepe noktası, mutlak değerin içini sıfır yapan $x$ değeri ve dışarıdaki sabit terimden oluşur.
- $bx - 8 = 0 \implies x = 8/b$. Tepe noktasının $y$ değeri $4$'tür. Yani $g(x)$'in tepe noktası $(8/b, 4)$'tür.
- Grafikler aynı olduğu için tepe noktaları da aynı olmalıdır. Bu durumda $4 = 8/b$ eşitliği sağlanmalıdır.
- $4b = 8 \implies b = 2$.
- Şimdi $b=2$ değerini $g(x)$ fonksiyonunda yerine yazalım: $g(x) = -|2x - 8| + 4$.
- Bu mutlak değer fonksiyonunu parçalı fonksiyon olarak yazalım:
- Eğer $2x-8 \ge 0 \implies x \ge 4$ ise, $g(x) = -(2x-8)+4 = -2x+8+4 = -2x+12$.
- Eğer $2x-8 < 0 \implies x < 4$ ise, $g(x) = -(-(2x-8))+4 = 2x-8+4 = 2x-4$.
- Buna göre $g(x) = \begin{cases} 2x-4, & x < 4 \\ -2x+12, & x \ge 4 \end{cases}$ olur.
- $f(x) = \begin{cases} 2x-4, & x < a \\ -2x+12, & x \ge 2a-4 \end{cases}$ fonksiyonu ile $g(x)$ fonksiyonunun aynı olması için, kritik noktaların da aynı olması gerekir.
- İlk koşuldan $a = 4$ olmalıdır. İkinci koşulu kontrol edelim: $2a-4 = 2(4)-4 = 8-4 = 4$. Bu da $x \ge 4$ koşulu ile uyuşmaktadır.
- Böylece $a=4$ ve $b=2$ değerlerini bulmuş oluruz.
- Sorulan $a-b$ farkı $4-2 = 2$'dir.
- Doğru Seçenek D'dır.