Soru Çözümü
- Birinci dereceden bir fonksiyon ($f(x) = ax + b$) tanımlı olduğu kapalı aralıkta maksimum ve minimum değerlerini aralığın uç noktalarında alır.
- Durum 1: Fonksiyon artan ise ($a > 0$). Bu durumda $f(2)$ minimum, $f(10)$ maksimumdur.
- $f(2) = -3 \implies 2a + b = -3$
- $f(10) = 1 \implies 10a + b = 1$
- Bu iki denklemi çözerek $a$ ve $b$ değerlerini bulalım: $(10a + b) - (2a + b) = 1 - (-3) \implies 8a = 4 \implies a = 1/2$.
- $2(1/2) + b = -3 \implies 1 + b = -3 \implies b = -4$.
- Fonksiyon $f(x) = (1/2)x - 4$ olur. Sıfırını bulmak için $f(x) = 0$ eşitleriz: $(1/2)x - 4 = 0 \implies (1/2)x = 4 \implies x = 8$.
- $x = 8$ değeri $[2, 10]$ aralığındadır. Bu, fonksiyonun alabileceği bir sıfır değeridir.
- Durum 2: Fonksiyon azalan ise ($a < 0$). Bu durumda $f(2)$ maksimum, $f(10)$ minimumdur.
- $f(2) = 1 \implies 2a + b = 1$
- $f(10) = -3 \implies 10a + b = -3$
- Bu iki denklemi çözerek $a$ ve $b$ değerlerini bulalım: $(10a + b) - (2a + b) = -3 - 1 \implies 8a = -4 \implies a = -1/2$.
- $2(-1/2) + b = 1 \implies -1 + b = 1 \implies b = 2$.
- Fonksiyon $f(x) = -(1/2)x + 2$ olur. Sıfırını bulmak için $f(x) = 0$ eşitleriz: $-(1/2)x + 2 = 0 \implies -(1/2)x = -2 \implies x = 4$.
- $x = 4$ değeri $[2, 10]$ aralığındadır. Bu da fonksiyonun alabileceği diğer bir sıfır değeridir.
- Fonksiyonun sıfırının alabileceği değerler $8$ ve $4$'tür. Bu değerlerin toplamı $8 + 4 = 12$dir.
- Doğru Seçenek D'dır.