Merhaba sevgili 9. sınıf öğrencileri!

Bu ders notu, "Gerçek Sayılarda Tanımlı Doğrusal Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri" konusundaki bilgilerinizi pekiştirmek ve sınava hazırlanırken son bir tekrar yapmanızı sağlamak amacıyla hazırlandı. Karşılaştığınız test sorularını analiz ederek, bu konunun temel taşlarını ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsayan kapsamlı bir özet çıkardık. Haydi başlayalım!

1. Doğrusal Fonksiyon Nedir?

• Bir fonksiyonun kuralı f(x) = ax + b şeklinde yazılabiliyorsa, bu fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Burada a ve b birer gerçek sayıdır ve a ≠ 0 olmalıdır. (Eğer a=0 olursa f(x)=b olur ki bu sabit fonksiyondur ve doğrusal fonksiyonun özel bir halidir.)
• Doğrusal fonksiyonların grafiği dik koordinat düzleminde her zaman bir doğru belirtir.

2. Eğim Kavramı ve Hesaplaması

• Doğrusal fonksiyonun kuralı f(x) = ax + b olduğunda, x'in katsayısı olan a sayısı, doğrunun eğimidir. Eğim, fonksiyonun artış veya azalış hızını gösterir.
• İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi: Eğer bir doğrusal fonksiyonun grafiği A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçiyorsa, eğim (m) şu formülle bulunur:
  m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• Artış Hızı: Eğim (a) pozitifse (a > 0), fonksiyon artandır ve grafiği sağa yatıktır. Eğim ne kadar büyükse, artış hızı o kadar fazladır.
• Azalış Hızı: Eğim (a) negatifse (a < 0), fonksiyon azalandır ve grafiği sola yatıktır. Eğim mutlak değerce ne kadar büyükse, azalış hızı o kadar fazladır.
• Sabit Fonksiyon: Eğer a = 0 ise, f(x) = b olur. Bu bir sabit fonksiyondur ve grafiği x eksenine paralel bir doğrudur. Eğimi 0'dır.

⚠️ Dikkat: Eğim hesaplarken y değerlerindeki değişimi (Δy) x değerlerindeki değişime (Δx) böldüğümüzden emin olun. Sıralamayı karıştırmayın: (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) veya (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂).

3. Doğrusal Fonksiyonun Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

• y-eksenini Kestiği Nokta: Bir doğrusal fonksiyonun grafiği y-eksenini kestiği noktada x değeri 0'dır. Yani f(0) değeri y-eksenini kestiği noktanın y koordinatıdır.
  f(x) = ax + b için y-eksenini kestiği nokta (0, b)'dir.
• x-eksenini Kestiği Nokta (Fonksiyonun Sıfırı / Kökü): Bir doğrusal fonksiyonun grafiği x-eksenini kestiği noktada y değeri 0'dır. Yani f(x) = 0 denklemini sağlayan x değeri, fonksiyonun sıfırı veya köküdür.
  ax + b = 0 denkleminden x = -b/a bulunur. x-eksenini kestiği nokta (-b/a, 0)'dır.
• Grafik Çizimi: Doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek için genellikle x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmak yeterlidir. Bu iki noktayı işaretleyip birleştirdiğinizde doğruyu elde edersiniz.

💡 İpucu: Grafiği verilen bir doğrusal fonksiyonun denklemini bulmak için, grafikten iki nokta (özellikle eksenleri kestiği noktalar) belirleyip eğimi hesaplayabilir ve ardından y - y₁ = m(x - x₁) formülünü kullanabilirsiniz.

4. Artan ve Azalan Fonksiyonlar (Cebirsel İnceleme)

• Bir fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu anlamak için eğimine bakmak en hızlı yoldur. Ancak cebirsel olarak da incelenebilir:
• Tanım kümesinden alınan her x₁ ve x₂ değeri için, eğer x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa fonksiyon artandır.
• Tanım kümesinden alınan her x₁ ve x₂ değeri için, eğer x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) oluyorsa fonksiyon azalandır.

⚠️ Dikkat: Eşitsizliklerle işlem yaparken, eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarpar veya bölerseniz, eşitsizlik yön değiştirir. Bu, artanlık/azalanlık ispatlarında sıkça yapılan bir hata kaynağıdır.

5. Tanım ve Görüntü Kümesi

• Tanım Kümesi: Fonksiyonda yerine yazabileceğimiz x değerlerinin kümesidir. Genellikle gerçek sayılar (R) kümesi olarak verilir veya belirli bir aralık ([a, b]) olarak belirtilir.
• Görüntü Kümesi: Tanım kümesindeki x değerlerinin fonksiyon altında aldığı y değerlerinin kümesidir.
• Belirli Bir Aralıkta Görüntü Kümesi: Eğer fonksiyon f(x) = ax + b şeklinde doğrusal ve tanım kümesi [x₁, x₂] gibi kapalı bir aralıksa:
  • Fonksiyon artansa (a > 0), görüntü kümesi [f(x₁), f(x₂)] olur. Minimum değer f(x₁), maksimum değer f(x₂) olur.
  • Fonksiyon azalansa (a < 0), görüntü kümesi [f(x₂), f(x₁)] olur. Minimum değer f(x₂), maksimum değer f(x₁) olur.

💡 İpucu: Doğrusal fonksiyonlar belirli bir aralıkta sürekli oldukları için, minimum ve maksimum değerlerini aralığın uç noktalarında alırlar.

6. Fonksiyon Dönüşümleri

• f(x) = x temel doğrusal fonksiyondur.
• f(x) = kx: katsayısı k olan bir fonksiyon, temel fonksiyonun eğimini değiştirir. Eğer |k| > 1 ise grafik y eksenine yaklaşır (daha dikleşir), eğer 0 < |k| < 1 ise grafik x eksenine yaklaşır (daha yatıklaşır). k negatifse eğim yön değiştirir (artan iken azalan olur).
• f(x) = x + c: Fonksiyonun grafiğini y ekseni boyunca c birim yukarı öteler (c > 0 ise) veya c birim aşağı öteler (c < 0 ise).

7. Gerçek Hayat Uygulamaları

• Doğrusal fonksiyonlar, birçok gerçek hayat durumunu modellemek için kullanılır (ücret hesaplamaları, birikim, boy uzaması, mesafe-zaman ilişkileri vb.).
• Bu tür problemlerde, verilen bilgilerden (tablo, grafik veya metin) fonksiyonun kuralını (f(x) = ax + b) çıkarmak önemlidir.
• a katsayısı (eğim), genellikle birim zamandaki değişimi (hız, artış miktarı) ifade eder.
• b katsayısı (y-eksenini kestiği nokta), genellikle başlangıç değerini (başlangıç ücreti, başlangıç birikimi, başlangıç boyu) ifade eder.

💡 İpucu: Gerçek hayat problemlerinde tanım ve görüntü kümeleri genellikle pozitif sayılarla sınırlıdır ve problemdeki fiziksel sınırlamalara göre belirlenir (örn: zaman negatif olamaz, mesafe negatif olamaz).

Bu ders notu, doğrusal fonksiyonlar konusundaki temel bilgileri ve testlerde sıkça karşınıza çıkacak soru tiplerini özetlemektedir. Konuları iyi anladığınızdan ve formülleri doğru kullandığınızdan emin olun. Başarılar dilerim!