Soru Çözümü
- a, b ve c negatif reel sayılar olduğundan ve $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ eşitsizliği verildiğinden, bu sayıların kendileri arasındaki ilişki eşitsizlik yön değiştirerek bulunur.
- Bu durumda $a > b > c$ sıralaması geçerlidir. (Örnek: $a=-1$, $b=-2$, $c=-3$ için $\frac{1}{-1} < \frac{1}{-2} < \frac{1}{-3}$ yani $-1 < -0.5 < -0.33$ yanlıştır. Doğrusu: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ ise, $a,b,c$ negatif olduğundan, $a$ sıfıra en yakın, $c$ sıfıra en uzak olmalıdır. Yani $c < b < a$. Örneğin $c=-3, b=-2, a=-1$. O zaman $\frac{1}{-3} < \frac{1}{-2} < \frac{1}{-1}$ yani $-0.33 < -0.5 < -1$ bu da yanlıştır. Tekrar kontrol edelim: * Eğer $x < y$ ve $x, y$ negatif ise, $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ olur. * Verilen: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$. * Bu durumda, $a, b, c$ negatif olduğundan, $a$ en küçük (negatif olarak en büyük mutlak değere sahip), $c$ en büyük (negatif olarak en küçük mutlak değere sahip) olmalıdır. * Yani $a < b < c$. * Örnek: $a=-3$, $b=-2$, $c=-1$. * $\frac{1}{-3} < \frac{1}{-2} < \frac{1}{-1}$ * $-0.333... < -0.5 < -1$. Bu ifade yanlıştır. * Doğru sıralama: $-1 < -0.5 < -0.333...$ * Yani $\frac{1}{c} < \frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ olmalıydı. * Soruda $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ verilmiş. Bu durumda $a, b, c$ negatif olduğundan, mutlak değerleri arasındaki ilişki tersine döner. * $|a| > |b| > |c|$. * Sayı doğrusunda negatif sayılar için mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür. * Dolayısıyla $a < b < c$ sıralaması doğrudur. (Örnek: $a = -3$, $b = -2$, $c = -1$. Bu durumda $\frac{1}{a} = -\frac{1}{3}$, $\frac{1}{b} = -\frac{1}{2}$, $\frac{1}{c} = -1$. Eşitsizlik: $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{2} < -1$. Bu da yanlıştır. * Tekrar baştan düşünelim: * $a, b, c$ negatif sayılar. * $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{c}$. * Örnek değerler verelim: $\frac{1}{a} = -3$, $\frac{1}{b} = -2$, $\frac{1}{c} = -1$. Bu eşitsizliği sağlar. * Bu durumda $a = -\frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{2}$, $c = -1$. * Bu sayıları sıralarsak: $c < b < a$. * Yani $-1 < -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$. Bu sıralama doğrudur. * Öyleyse, $c < b < a$ ilişkisi geçerlidir.
- Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirleyelim:
- $a+b$: Hem $a$ hem de $b$ negatif olduğundan, $a+b$ negatiftir. Bu yüzden $|a+b| = -(a+b) = -a-b$.
- $c-b$: $c < b$ olduğundan, $c-b$ negatiftir. Bu yüzden $|c-b| = -(c-b) = -c+b$.
- $a-c$: $a > c$ olduğundan, $a-c$ pozitiftir. Bu yüzden $|a-c| = a-c$.
- Verilen ifadeyi yerine yazarak sadeleştirelim:
- $|a+b| + |c-b| + |a-c| = (-a-b) + (-c+b) + (a-c)$
- $= -a-b-c+b+a-c$
- $= (-a+a) + (-b+b) + (-c-c)$
- $= 0 + 0 - 2c$
- $= -2c$
- Doğru Seçenek B'dır.