Merhaba sevgili 9. sınıf öğrencileri!

Matematik dersinin temel ve önemli konularından biri olan EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) konusuyla ilgili bir test çözdünüz. Bu ders notu, bu testte karşılaştığınız tüm konuları pekiştirmeniz ve sınavlara daha iyi hazırlanmanız için tasarlandı. Hazırsanız, EBOB ve EKOK dünyasına derinlemesine bir dalış yapalım!

🎓 9. Sınıf Ebob - Ekok Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

Bu ders notu, "Asal Çarpanlara Ayırma", "EBOB ve EKOK Hesaplama Yöntemleri", "EBOB ve EKOK Arasındaki İlişkiler" ve "EBOB-EKOK Uygulama Problemleri" gibi temel başlıkları kapsayarak konuyu bütünsel bir bakış açısıyla ele almaktadır.

1. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

• Asal Sayı: 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılardır. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, ...)
• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Bu, EBOB ve EKOK bulmanın en temel adımlarından biridir.
• Yöntem: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölen listesi şeklinde ayırırız.
• Örnek: 60 = 2² ⋅ 3¹ ⋅ 5¹

⚠️ Dikkat: Asal çarpanlara ayırırken tüm asal çarpanları doğru bir şekilde bulduğunuzdan emin olun. Özellikle büyük sayılarda hata yapmamak için dikkatli olun.

2. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

• Tanım: İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
• Hesaplama Yöntemleri:
  • Asal Çarpanlar Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanlar seçilerek çarpılır.
  • Bölen Listesi Yöntemi: Sayılar yan yana yazılır ve asal çarpanlarına ayrılırken her iki sayıyı da bölen asal sayılar işaretlenir. İşaretlenen asal sayıların çarpımı EBOB'u verir.
• EBOB'un Özellikleri:
  • EBOB(a, b) ≤ a ve EBOB(a, b) ≤ b'dir.
  • Sayılar birbirinin katı ise, EBOB küçük olan sayıya eşittir. (Örnek: EBOB(10, 20) = 10)
  • EBOB, verilen sayıların tüm ortak bölenlerini kapsar. Bir sayının ortak bölenlerinin sayısı, EBOB'unun pozitif bölenlerinin sayısına eşittir.

💡 İpucu: EBOB genellikle "parçalama", "ayırma", "eşit parçalara bölme", "kumaş kesme", "fidan dikme" gibi en büyük ortak birimi bulmayı gerektiren problemlerde kullanılır.

3. EKOK (En Küçük Ortak Kat)

• Tanım: İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük pozitif tam sayıdır.
• Hesaplama Yöntemleri:
  • Asal Çarpanlar Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, tüm asal çarpanlardan üssü büyük olanlar seçilerek çarpılır. Ortak olmayan asal çarpanlar da EKOK'a dahil edilir.
  • Bölen Listesi Yöntemi: Sayılar yan yana yazılır ve asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanların çarpımı EKOK'u verir.
• EKOK'un Özellikleri:
  • EKOK(a, b) ≥ a ve EKOK(a, b) ≥ b'dir.
  • Sayılar birbirinin katı ise, EKOK büyük olan sayıya eşittir. (Örnek: EKOK(10, 20) = 20)

💡 İpucu: EKOK genellikle "birleştirme", "bir araya getirme", "ortak buluşma", "otobüslerin aynı anda kalkması", "zillerin aynı anda çalması" gibi en küçük ortak bir katı bulmayı gerektiren problemlerde kullanılır.

4. EBOB ve EKOK Arasındaki İlişkiler

• İki Sayı İçin Temel Bağıntı: İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
  a ⋅ b = EBOB(a, b) ⋅ EKOK(a, b)
• Aralarında Asal Sayılar: EBOB'ları 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir.
  • EBOB(a, b) = 1 ise, EKOK(a, b) = a ⋅ b'dir.
  • Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.
• Sayıların EBOB Katları Olarak Gösterimi:
  • Eğer EBOB(a, b) = x ise, a = x ⋅ k ve b = x ⋅ m şeklinde yazılabilir. Burada k ve m sayıları aralarında asal olmak zorundadır.
  • Bu durumda EKOK(a, b) = x ⋅ k ⋅ m olur.

⚠️ Dikkat: Sayıları EBOB'un katları olarak ifade ederken (a=xk, b=xm), k ve m'nin aralarında asal olma koşulunu kesinlikle unutmayın. Bu koşul, birçok problemde doğru çözüme ulaşmak için kritik öneme sahiptir.

5. EBOB ve EKOK Uygulama Problemleri

• En Büyük/En Küçük Değer Bulma:
  • EBOB'u verilen iki farklı sayının toplamının en az olması için, sayılar EBOB'un aralarında asal olan en küçük katları (EBOB⋅1 ve EBOB⋅2) olarak seçilir.
  • EKOK'u verilen iki sayının toplamının en çok olması için, sayılar EKOK'un kendisi ve 1 olarak seçilir (a=EKOK, b=1). Eğer sayılar farklı olmak zorundaysa, EKOK'un kendisi ve EKOK'un en büyük böleni olarak seçilebilir.
  • EKOK'u ve EBOB'u verilen sayıların toplamının en küçük olması için, sayılar EBOB'un aralarında asal ve EKOK'u sağlayacak en yakın katları olarak seçilir. (EKOK = EBOB ⋅ k ⋅ m)
• Kalanlı Bölme ve Eşitlik Problemleri:
  • A = ax + k = by + k = cz + k şeklinde bir ifade gördüğünüzde, A-k sayısı a, b ve c'nin ortak katı demektir. Bu durumda A-k = EKOK(a, b, c) ⋅ n olur.
  • A = ax - k1 = by - k2 = cz - k3 şeklinde bir ifade gördüğünüzde, eşitliğin her tarafına uygun sayılar ekleyerek veya çıkararak kalanları eşitlemeye çalışın. Genellikle A+x veya A-y şeklinde bir ifade, sayıların EKOK'unun katı olur.
  • Örnek: A = 5a - 1 = 6b + 3 = 8c - 5. Bu tür durumlarda her bir ifadeyi aynı kalana getirmeye çalışın.
    • 5a - 1 + 6 = 5a + 5 = 5(a+1)
    • 6b + 3 + 3 = 6b + 6 = 6(b+1)
    • 8c - 5 + 8 = 8c + 3 (Bu olmadı, farklı bir sayı ekleyelim)

    Tekrar deneyelim: A = 5a - 1 = 6b + 3 = 8c - 5.

    Eşitliğin her tarafına 13 eklersek:

    A + 13 = 5a - 1 + 13 = 5a + 12 (5'in katı değil)

    A + 13 = 6b + 3 + 13 = 6b + 16 (6'nın katı değil)

    A + 13 = 8c - 5 + 13 = 8c + 8 = 8(c+1)

    Bu yöntemle değil, kalanları aynı hale getirme mantığıyla ilerlenir:

    A = 5a - 1 ⇒ A+1 = 5a

    A = 6b + 3 ⇒ A-3 = 6b

    A = 8c - 5 ⇒ A+5 = 8c

    Şimdi bu ifadeleri ortak bir sayıya eşitlemeye çalışalım. 5a = A+1 6b = A-3 8c = A+5 Burada A+1, A-3, A+5 ifadelerinin EKOK'unu bulmak zor. Daha kolay bir yol: Kalanları aynı hale getirmek için her bir ifadeye öyle bir sayı ekleyelim ki, o sayının katı olsun ve kalanlar eşitlensin. 5a - 1 ⇒ 5k - 1 6b + 3 ⇒ 6m + 3 8c - 5 ⇒ 8n - 5 Kalanları eşitlemek için: -1 + X = 5'in katı 3 + X = 6'nın katı -5 + X = 8'in katı Deneyerek veya modüler aritmetik kullanarak uygun X bulunur. Örneğin, X=6 için: -1+6 = 5 (5'in katı) 3+6 = 9 (6'nın katı değil) X=13 için: -1+13 = 12 (5'in katı değil) X=19 için: -1+19 = 18 (5'in katı değil) X=29 için: -1+29 = 28 (5'in katı değil) X=35 için: -1+35 = 34 (5'in katı değil) X=39 için: -1+39 = 38 (5'in katı değil) X=43 için: -1+43 = 42 (5'in katı değil) X=47 için: -1+47 = 46 (5'in katı değil) X=49 için: -1+49 = 48 (5'in katı değil) X=53 için: -1+53 = 52 (5'in katı değil) X=59 için: -1+59 = 58 (5'in katı değil) X=63 için: -1+63 = 62 (5'in katı değil) X=69 için: -1+69 = 68 (5'in katı değil) X=73 için: -1+73 = 72 (5'in katı değil) X=77 için: -1+77 = 76 (5'in katı değil) X=79 için: -1+79 = 78 (5'in katı değil) X=83 için: -1+83 = 82 (5'in katı değil) X=89 için: -1+89 = 88 (5'in katı değil) X=93 için: -1+93 = 92 (5'in katı değil) X=97 için: -1+97 = 96 (5'in katı değil) X=101 için: -1+101 = 100 (5'in katı) 3+101 = 104 (6'nın katı değil) Bu tür sorularda A'ya öyle bir sayı eklenir veya çıkarılır ki, her bir bölenin tam katı olsun. 5a - 1 = 5a - 1 + 5 = 5a + 4 (kalan 4) 6b + 3 = 6b + 3 - 6 = 6b - 3 (kalan -3) 8c - 5 = 8c - 5 + 8 = 8c + 3 (kalan 3) Bu durumda kalanlar farklı. Doğru yaklaşım: A = 5a - 1 => A+1 = 5a A = 6b + 3 => A-3 = 6b A = 8c - 5 => A+5 = 8c Bu durumda A+1, A-3, A+5 aynı sayı değil. Eşitliğin her tarafına öyle bir sayı ekleyelim ki, her bir bölenin katı olsun. A = 5a - 1 A = 6b + 3 A = 8c - 5 A + x = 5a - 1 + x = 6b + 3 + x = 8c - 5 + x x = 1 için: A+1 = 5a = 6b+4 = 8c-4 x = 2 için: A+2 = 5a+1 = 6b+5 = 8c-3 ... Bu tür sorularda, her bir ifadenin kalanını aynı sayıya eşitlemeye çalışırız. 5a - 1 ≡ 4 (mod 5) 6b + 3 ≡ 3 (mod 6) 8c - 5 ≡ 3 (mod 8) Yani A sayısı 5'e bölündüğünde 4, 6'ya bölündüğünde 3, 8'e bölündüğünde 3 kalanını veriyor. A ≡ 3 (mod 6) ve A ≡ 3 (mod 8) olduğundan, A-3 sayısı hem 6'nın hem de 8'in katıdır. Yani A-3 = EKOK(6, 8) * k = 24k. A = 24k + 3. Şimdi bu ifadeyi ilk denklemde yerine koyalım: A ≡ 4 (mod 5) 24k + 3 ≡ 4 (mod 5) -k + 3 ≡ 4 (mod 5) -k ≡ 1 (mod 5) k ≡ -1 (mod 5) k ≡ 4 (mod 5) Yani k sayısı 5'in katından 4 fazla olmalı. k = 5m + 4. A = 24(5m + 4) + 3 A = 120m + 96 + 3 A = 120m + 99. Bu durumda A sayısı 120'nin katından 99 fazla olan bir sayıdır. A'nın en büyük değerini bulmak için A < 378 koşulunu kullanırız. 120m + 99 < 378 120m < 279 m < 279/120 m < 2.325 m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 2'dir. m = 2 için A = 120(2) + 99 = 240 + 99 = 339. Bu tür sorular, kalanlı bölme ve EKOK'un birleşimidir.

Genel İpuçları ve Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Soru Kökünü İyi Okuyun: "En az", "en çok", "farklı", "aralarında asal" gibi kelimeler çözüm yöntemini doğrudan etkiler.
• Asal Çarpanlara Ayırma Temeldir: EBOB ve EKOK sorularının çoğunun başlangıcı sayıları doğru bir şekilde asal çarpanlarına ayırmaktır. Bu konuda pratik yapın.
• Formülleri Ezberlemek Yerine Anlayın: Özellikle a ⋅ b = EBOB(a, b) ⋅ EKOK(a, b) ve a = xk, b = xm (k, m aralarında asal) gibi temel ilişkileri mantığıyla kavrayın.
• Bölen ve Kat Kavramlarını Karıştırmayın: EBOB "bölen" ile, EKOK "kat" ile ilgilidir. Bu ayrımı zihninizde netleştirin.
• Üç Sayının EBOB/EKOK'u: İki sayı için geçerli olan a ⋅ b = EBOB(a, b) ⋅ EKOK(a, b) formülü üç veya daha fazla sayı için genellikle geçerli değildir. Üç sayının EBOB ve EKOK'unu bulurken asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanmak en sağlıklısıdır.
• Problem Çözme Stratejisi:
  1. Verilen sayıları asal çarpanlarına ayırın.
  2. Sorunun EBOB mu, EKOK mu gerektirdiğini belirleyin (parçalama mı, birleştirme mi?).
  3. Gerekli hesaplamaları yapın.
  4. Bulduğunuz sonucu soru kökündeki koşullarla (en az, en çok, farklı vb.) karşılaştırarak nihai cevabı bulun.

Bu ders notu, EBOB ve EKOK konusundaki bilgi birikiminizi güçlendirmek ve testteki soruların arkasındaki mantığı anlamanıza yardımcı olmak için hazırlandı. Bol pratik yaparak bu konuda ustalaşabilirsiniz. Başarılar dilerim!