Merhaba sevgili 11. sınıf öğrencileri!

Trigonometri, matematiğin en temel ve en keyifli konularından biridir. Bu ders notu, "11. Sınıf Trigonometri Karma Test 1" sorularını analiz ederek, trigonometriye sağlam bir başlangıç yapmanız veya mevcut bilgilerinizi pekiştirmeniz için hazırlandı. Testteki sorular, konunun temel taşlarını oluşturan çeşitli kavramları kapsıyor. Bu notlar, sınav öncesi son tekrarınızda size yol gösterecek ve kritik noktaları hatırlatacaktır.

Açı ve Açı Ölçü Birimleri

Trigonometri, açıların ve üçgenlerin özelliklerini inceleyen bir daldır. Bu nedenle, açı kavramını ve ölçü birimlerini iyi anlamak çok önemlidir.

• Yönlü Açılar: Bir açının başlangıç kenarı ve bitim kenarı vardır. Başlangıç kenarından bitim kenarına saat yönünün tersine yapılan dönüşler pozitif yönlü, saat yönünde yapılan dönüşler ise negatif yönlü açılardır.
• Derece, Dakika, Saniye: Açı ölçü birimlerinden biri derecedir (°). Bir derece 60 dakikaya ('), bir dakika ise 60 saniyeye (") eşittir.
  • 1° = 60'
  • 1' = 60"
  • 1° = 3600"

  💡 İpucu: Saniye, dakika veya dereceye dönüştürme yaparken 60'a bölme veya çarpma işlemlerini dikkatli yapın. Özellikle saniyeyi dereceye çevirirken önce 60'a bölüp dakikayı, sonra tekrar 60'a bölüp dereceyi bulmayı unutmayın.

• Radyan ve Derece Dönüşümü: Diğer bir açı ölçü birimi radyandır. Bir çemberin çevresi 2πr olduğundan, 360°'lik bir tam açı 2π radyana eşittir.
  • 360° = 2π radyan
  • 180° = π radyan

  Dönüşüm formülü:
  Derece / 180 = Radyan / π

• Esas Ölçü: Bir açının esas ölçüsü, [0°, 360°) aralığındaki (veya [0, 2π) radyan aralığındaki) karşılığıdır. Bir açının esas ölçüsünü bulmak için, açıyı 360'a (veya 2π'ye) böleriz ve kalanı alırız.
  • Pozitif Açılar İçin: Açıyı 360'a (veya 2π'ye) bölerek kalanı bulun.
  • Negatif Açılar İçin: Açıyı pozitif hale getirmek için 360'ın (veya 2π'nin) katlarını ekleyin. Örneğin, -α açısının esas ölçüsü -α + 360k (k ∈ Z) şeklinde bulunur, öyle ki sonuç [0, 360) aralığında olsun.

  ⚠️ Dikkat: Negatif radyanlı açılarda esas ölçü bulurken, paydanın iki katına bölme işlemini yapmayı ve kalanı negatifse 2π eklemeyi unutmayın.

Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrinin kalbi birim çemberdir. Birim çember, merkezi başlangıç noktasında (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.

• Birim Çember Üzerindeki Noktalar: Birim çember üzerindeki bir P(x, y) noktası için x = cosθ ve y = sinθ'dır. Burada θ, pozitif x ekseni ile OP doğru parçası arasındaki açıdır.
• Trigonometrik Fonksiyonların Tanımı:
  • sinθ = y (karşı dik kenar / hipotenüs)
  • cosθ = x (komşu dik kenar / hipotenüs)
  • tanθ = y/x = sinθ / cosθ (karşı dik kenar / komşu dik kenar)
  • cotθ = x/y = cosθ / sinθ (komşu dik kenar / karşı dik kenar)
• Bölgelere Göre İşaretler:
  • I. Bölge (0° - 90°): sin(+), cos(+), tan(+), cot(+)
  • II. Bölge (90° - 180°): sin(+), cos(-), tan(-), cot(-)
  • III. Bölge (180° - 270°): sin(-), cos(-), tan(+), cot(+)
  • IV. Bölge (270° - 360°): sin(-), cos(+), tan(-), cot(-)

  💡 İpucu: "Bütün Sınıf Kara Tahtada Coşar" tekerlemesiyle bölgelerdeki pozitif fonksiyonları hatırlayabilirsiniz: Bütün (I. Bölge hepsi), Sınıf (II. Bölge sinüs), Kara Tahtada (III. Bölge tanjant ve kotanjant), Coşar (IV. Bölge kosinüs).

• Özel Açıların Değerleri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° (veya radyan karşılıkları) gibi açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ezbere bilmek, birçok soruda hız kazandırır.

  ⚠️ Dikkat: π/2, π, 3π/2, 2π gibi eksen üzerindeki açıların değerlerini birim çemberden kolayca çıkarabilirsiniz. Örneğin, sin(π) = 0 (x ekseni üzerindeki nokta (-1,0) olduğu için y değeri 0'dır).

• Trigonometrik Fonksiyonların Değer Aralığı:
  • sinθ ve cosθ fonksiyonlarının değer aralığı her zaman [-1, 1]'dir. Yani -1 ≤ sinθ ≤ 1 ve -1 ≤ cosθ ≤ 1'dir.
  • tanθ ve cotθ fonksiyonlarının değer aralığı ise (-∞, +∞)'dur.

  💡 İpucu: sinx ve cosx'in değer aralığı bilgisi, bir ifadenin en büyük veya en küçük değerini bulma sorularında çok önemlidir. Örneğin, A = 4cosx - 3siny ifadesinin en geniş değer aralığını bulmak için cosx'in 1, siny'nin -1 olduğu durumu (maksimum) ve cosx'in -1, siny'nin 1 olduğu durumu (minimum) değerlendiririz. Bu tür durumlarda x ve y açılarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılır.

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Uygulamaları

Trigonometrik oranlar, dik üçgenlerde kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkiyi kurar.

• Temel Oranlar: Bir dik üçgende, bir açının sinüsü karşı dik kenarın hipotenüse oranı, kosinüsü komşu dik kenarın hipotenüse oranı, tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
• Pisagor Teoremi: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir (a² + b² = c²). Bu teorem, eksik kenar uzunluklarını bulmak için sıkça kullanılır.
• Geometrik Uygulamalar:
  • Üçgenin Alanı: İki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, üçgenin alanı Alan = (1/2) * a * b * sinC formülüyle bulunabilir. Birim çember üzerindeki üçgenlerin alanını hesaplarken bu formül ve birim çemberin yarıçapının 1 olduğu bilgisi kullanılır.
  • Problem Çözme: Günlük hayatta veya geometrik şekillerde verilen problemleri çözmek için trigonometrik oranları ve Pisagor teoremini kullanabilirsiniz. Özellikle geniş açılı üçgenlerde tanjant gibi oranların işaretlerine dikkat edin.

  ⚠️ Dikkat: Bir açının tanjantını bulurken, açının hangi bölgede olduğuna ve buna göre işaretinin ne olması gerektiğine dikkat edin. Geniş açıların tanjantı negatiftir.

  💡 İpucu: Kareli zemin üzerinde verilen üçgenlerde kenar uzunluklarını sayarak kolayca bulabilir ve Pisagor teoremini uygulayarak hipotenüsü hesaplayabilirsiniz. Bu, özel açıları (30°, 45°, 60°) tanımak için de bir fırsat sunar.

Bu ders notu, "11. Sınıf Trigonometri Karma Test 1"deki soruların temelini oluşturan tüm konuları kapsamaktadır. Her konuyu dikkatlice tekrar edin, formülleri ezberleyin ve bol bol pratik yaparak pekiştirin. Başarılar dilerim!