Merhaba Sevgili 8. Sınıf Öğrencileri,

Bu ders notu, "Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları" konusundaki bilgilerinizi pekiştirmeniz ve bu konudaki test sorularını daha kolay çözebilmeniz için özel olarak hazırlandı. Karşınıza çıkan test, bu ünitenin temel kavramlarını, asal çarpanlara ayırma yöntemlerini ve problem çözme becerilerini ölçen çeşitli sorular içermektedir. Bu notlar sayesinde konuyu baştan sona tekrar edebilir, önemli noktaları hatırlayabilir ve sınavlara daha güvenle hazırlanabilirsiniz.

Bu test; pozitif tam sayıların çarpanlarını (bölenlerini) bulma, asal sayıları tanıma, sayıları asal çarpanlarına ayırma (çarpan ağacı ve asal çarpan algoritması), asal çarpanlarını üslü ifade şeklinde yazma ve çarpanlarla ilgili problem çözme becerilerinizi ölçmektedir.

🎓 8. Sınıf Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları Test 1 - Ders Notu ve İpuçları

1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları (Bölenleri)

• Tanım: Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölen her pozitif tam sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
• Çarpanları Bulma Yöntemi: Bir sayının çarpanlarını bulmak için, 1'den başlayarak sırayla o sayıyı bölen tüm pozitif tam sayıları buluruz. Her bölenin bir de eşi (çarpıldığında sayıyı veren diğer çarpan) olduğunu unutmayın. Örneğin, 36 sayısının çarpanları:
  • 1 x 36 = 36
  • 2 x 18 = 36
  • 3 x 12 = 36
  • 4 x 9 = 36
  • 6 x 6 = 36
  Buna göre 36'nın çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır.
• 💡 İpucu: Çarpanları bulurken küçükten büyüğe doğru sırayla denemek ve her çarpanın bir eşini bulmak, hiçbir çarpanı atlamamanızı sağlar. Sayının kareköküne kadar deneme yapmak yeterlidir.

2. Asal Sayılar

• Tanım: 1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
• ⚠️ Dikkat:
  • 1 asal sayı değildir. Asal sayılar 2'den başlar.
  • En küçük asal sayı 2'dir.
  • 2, aynı zamanda tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
• Bazı Asal Sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

3. Asal Çarpanlar ve Asal Çarpanlara Ayırma

• Tanım: Bir sayının çarpanları arasında asal olanlara asal çarpan denir.
• Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.
  • a) Çarpan Ağacı: Sayıyı iki çarpanına ayırarak başlanır ve bu işlem, tüm dalların ucunda asal sayılar kalana kadar devam eder.

    Örnek: 60

    60
    / \
    2 30
    / \
    2 15
    / \
    3 5

    60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3¹ x 5¹

  • b) Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi): Sayı en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla asal sayılara bölünür. Bölüm 1 olana kadar işleme devam edilir.

    Örnek: 60

    60 | 2
    30 | 2
    15 | 3
    5 | 5
    1 |

    60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3¹ x 5¹

• Üslü İfade Şeklinde Yazma: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, aynı asal çarpanları üslü ifade şeklinde yazarak daha kısa gösterebiliriz. Örneğin, 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2² x 3² x 5¹.
• ⚠️ Dikkat: Asal çarpan algoritmasında sadece asal sayılarla bölme işlemi yapılır.
• 💡 İpucu: Bölünebilme kurallarını iyi bilmek (2, 3, 5, 10 vb.) asal çarpanlara ayırma işlemini hızlandırır.

4. Çarpan Sayısı ve Çarpanlarla İlgili Özel Durumlar

• Toplam Çarpan Sayısı Bulma: Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali a^x . b^y . c^z... ise, pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı (x+1) . (y+1) . (z+1) ... formülüyle bulunur.

  Örnek: 60 = 2² x 3¹ x 5¹. Çarpan sayısı = (2+1) x (1+1) x (1+1) = 3 x 2 x 2 = 12'dir.

• Asal Olmayan Çarpanlar: Bir sayının tüm çarpanlarını bulduktan sonra, asal olanları çıkararak asal olmayan çarpanları bulabiliriz.

  Asal Olmayan Çarpanların Sayısı = (Tüm Çarpanların Sayısı) - (Asal Çarpanların Sayısı)

• Yalnızca Bir Asal Çarpanı Olan Sayılar: Bu sayılar, bir asal sayının kuvveti şeklinde yazılabilen sayılardır. Örneğin, 8 (2³), 27 (3³), 125 (5³) gibi.
• Ortadaki Çarpan: Eğer bir sayının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı tek ise, o sayı bir tam karedir ve küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki çarpan, o sayının kareköküdür.

  Örnek: 36'nın çarpanları (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) 9 tanedir. Ortadaki çarpan 6'dır ve √36 = 6'dır.

5. Çarpanlar ve Katlar ile İlgili Problem Çözme

• Bu tür sorularda genellikle dikdörtgenin alanı ve kenar uzunlukları, belirli koşulları sağlayan sayıların bulunması gibi durumlar karşımıza çıkar.
• 💡 İpucu:
  • Problemdeki tüm bilgileri dikkatlice okuyun ve not alın.
  • Verilen sayının çarpanlarını veya asal çarpanlarını doğru bir şekilde bulun.
  • "En az", "en çok", "farklı sayılar" gibi ifadelere özellikle dikkat edin.
  • Dikdörtgenin alanı kenar uzunluklarının çarpımıdır. Kenar uzunlukları alanın birer çarpanı olmalıdır.

Bu ders notu, "Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları" konusundaki temel bilgileri ve sıkça karşılaşılan soru tiplerini kapsamaktadır. Konuları tekrar ederken ve soru çözerken bu notlardan faydalanarak başarıya ulaşacağınıza inanıyorum. Bol şans!