Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, matematikte önemli bir yere sahip olup, birçok farklı alanda geniş uygulama imkanları sunar. Üstel fonksiyonlar, genellikle f(x) = a^x şeklinde tanımlanır ve burada $a$ pozitif bir sabittir. Bu tür fonksiyonlar, bir değişkenin üstel olarak artış veya azalışını gösterir ve genellikle büyüme ve azalma süreçlerinde karşımıza çıkar. Örneğin, nüfus artışı, bankacılık faiz oranları ve radyoaktif bozunma gibi durumlar üstel fonksiyonlarla modellenebilir. Logaritmik fonksiyonlar ise üstel fonksiyonların tersidir ve f(x) = log_a​(x) biçiminde ifade edilir. Bu fonksiyon, bir sayının belirli bir tabana göre hangi üssü alması gerektiğini gösterir. Logaritmik fonksiyonlar, özellikle veri analizi, ses dalgalarının ölçümü, pH hesaplamaları ve ölçümler gibi birçok bilimsel uygulamada kullanılır. Bu ders notları, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ilgili problemleri içermekte olup, öğrencilerin bu kavramları anlamalarına ve pratik yapmalarına yardımcı olmayı amaçlamaktadır. Problemler, öğrencilerin analitik düşünme ve problem çözme becerilerini geliştirmeye yönelik olarak hazırlanmış olup, matematiksel kavramların gerçek hayatta nasıl uygulandığını keşfetmelerini sağlar.

Logaritma Konuları

• Logaritma Fonksiyonu ve grafiği
• 10 ve e Tabanında Logaritma Fonksiyonu
• Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
• Üstel, Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
• Üstel ve Logaritmik Fonksiyon Problemleri

12. Sınıf Üstel ve Logaritmik Fonksiyon Problemleri Ders Notu

Deprem ve Logaritma

ABD’li sismolog (deprem bilimci) Richter (Bihter) günümüzde de kullanılan “Rihter Ölçeği”ni oluşturdu. Bu ölçek, çeşitli bölgelere yerleştirilen sismogratlar (deprem yazar) yardımıyla, sarsıntının merkezi, etki alanı, büyüklüğü, şiddeti ve açığa çıkardığı enerjinin matematiksel ifadesidir. Bir depremin şiddeti 10 un kuvvetleri ile, büyüklüğü ise şiddetin onluk logaritması ile ifade edilir. Örneğin, 17 Ağustos 1999 İzmit depreminin şiddeti 10^7,4 tür. Büyüklüğü ise log10^7,4 = 7,4 tür.

Örnek: 1939 yılında Erzincan’da meydana gelen depremin şiddeti, 2003 yılında Bingöl’de meydana gelen depremin şiddetinin kaç katıdır?

Örnek: 2004 yılında Endonezya’da meydana gelen depremin şiddeti, 2003 yılında Bingöl’de meydana gelen depremin şiddetinin kaç katıdır?

Ses şiddeti

Ses dalgalarının ses yayılma doğrultusuna dik bir düzlem içindeki 1 cm² lik yüzeye 1 saniyede verdiği ses enerjisine ses şiddeti denir. Ses şiddetinin birimi watt’tır. İnsan kulağının duyabileceği en düşük ses şiddeti

Örnek: Bir konserdeki ses düzeyi 120 dB olarak ölçülüyor. Konserdeki ses şiddeti fısıltı ile konuşulan bir yerdeki ses şiddetinin kaç katıdır?

Bakteri Popülasyonu

Bakteriler üzerinde çalışan bir bilim insanı, bir bakteri kültüründeki bakterilerin saate (t) bağlı ağırlığını (gram)
A = 20 . 2^0,15t şeklinde buluyor.

Soru 1: 4 saat sonra bakteri kültürünün ağırlığı kaç gramdır?

Soru 2: Bakteri kültürünün ağırlığı kaç saat sonra 80 gr olur?

Soru 3: Bakteri kültürünün ağırlığı kaç saat sonra 100 gr olur?

Radyoakfif Maddelerin Bozunumu

Herhangi bir maddenin atom çekirdeğindeki nötronların sayısı, proton sayısına göre olduk- ça fazla ise, bu tür maddeler kararsız bir yapı göstermekte ve çekirdeğindeki nötronlar alfa, beta, gama gibi çeşitli ışınlar yaymak suretiyle parçalanmaktadır. Bu şekilde çevresine ışık saçarak parçalanan maddelere radyoaktif madde denir. Radyoaktif kirleticiler özellikle insan, hayvan ve bitki sağlığına olumsuz etkiler yaparak çevreyi ve ekolojik dengeyi bozmaktadır.

Kütlesi m olan radyoaktif bir madde olan uranyumun t yıl sonraki kütlesi, m = 2^-0,0002t formülüyle hesaplanmaktadır.

Buna göre, bu maddenin

Soru 1: İlk kütlesini bulunuz.

Soru 2: Kaç yıl sonra kütlesi ilk kütlesinin yarısı kadar olur?

Soru 3: Kaç yıl sonra ilk kütlesinin %1’i kadar olur? (log2100 z 6,64)

Fosil Yaşı Hesaplama

Fosillerin yaşları hesaplanırken de Iogaritmadan faydalanılmak- tadır. Fosil yaşı hesaplama yöntemine karbon 14 yöntemi denir. Her canlı organizmada bulunan karbon 14, canlı öldükten sonra bozunmaya başlar. Bu bozunma oranına göre fosilin yaşı tespit edilir.

Soru:

Logaritma ve Nobel Kimya Ödülü

Karbon-14 yöntemi Chicago Üniversitesi’nde Willard F. Libby (1908 – 1980) yönetiminde çalışan bir grup bilim insanı tarafından bulunmuştur. Yöntemle ilgili ilk yayın 1949 yılında Arnold ve Libby tarafından Science (Bilim) dergisinde yapılmıştır. Libby ve arkadaşları yöntemlerini sıralamak için, ilk ölçümlerini Mısır’daki antik şehirlerde yapmışlardır. Libby, karbon-14 izotopunun arkeoloji, jeoloji, jeotizik ve diğer dallarda tarihleme amaçlı kullanımı yöntemini bulduğu için 1960 yılında Nobel Kimya Ödülü’nü almıştır.