Matematikte permütasyon, bir grup nesnenin sıralanmasını ifade eder ve bu sıralamalarda nesnelerin sırası önemlidir. Ancak bazı durumlarda, sıralanan nesneler arasında tekrarlı olanlar olabilir. İşte bu tür durumlarda tekrarlı permütasyon devreye girer. Tekrarlı permütasyon, aynı türden nesnelerin bulunduğu gruplarda, bu nesnelerin kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplamayı sağlar. 10. sınıf matematik müfredatında yer alan bu konu, özellikle büyük veri gruplarında tekrarlanan öğelerin sıralanması gereken problemlerde sıkça kullanılır. Bu ders notunda tekrarlı permütasyon kavramının ne olduğunu, nasıl hesaplandığını ve gerçek hayatta hangi problemlerin çözümünde kullanıldığını ele alacağız. Tekrarlı permütasyon, hem matematiksel kavramlar arasında önemli bir yer tutar hem de olasılık ve kombinatorik alanlarında sıkça karşılaşılan bir konudur.
10. sınıf Tekrarlı Permütasyon Testleri
10. sınıf Tekrarlı Permütasyon Ders Notu
Sonraki Konu: Kombinasyon
Tekrarlı Permütasyon Çözümlü Sorular
1. ÜNİTE: SAYMA VE OLASILIK
A. Sıralama ve Seçme
B. Basit Olayların Olasılıkları
Permütasyon, bir grup nesnenin sırasının önemli olduğu durumlarda kullanılan bir sayma yöntemidir. Ancak bazı problemlerde aynı türden birden fazla nesne bulunabilir ve bu durumda her nesneyi farklı olarak kabul ederek hesaplama yapmak yanlış olur. İşte böyle durumlarda tekrarlı permütasyon devreye girer.
Tekrarlı Permütasyon Nedir?
Tekrarlı permütasyon, belirli bir grupta aynı türden birden fazla nesne olduğunda, bu nesnelerin sıralanma sayısını hesaplama yöntemidir. Eğer bir grup içerisinde tekrarlanan elemanlar varsa, bu elemanlar birbirinin aynısı gibi davranır ve sıralama sayısı, bu tekrarlanan elemanlar nedeniyle azalır.
Tekrarlı permütasyon, permütasyon formülünden biraz farklı bir hesaplama gerektirir. Eğer bir grup nesne içinde tekrarlanan elemanlar varsa, bunları birbirinden ayıramayız, dolayısıyla bu tekrarlardan kaynaklanan fazla sayıları bölmemiz gerekir.
Tekrarlı Permütasyon Örnekleri
Tekrarlı permütasyonu birkaç örnekle açıklayalım:
Örnek 1: “KİTAP” kelimesindeki harfleri kaç farklı şekilde sıralayabiliriz?
- Bu kelimede tekrarlanan harf olmadığı için normal permütasyon formülünü kullanırız:
- n = 5 (çünkü “K”, “İ”, “T”, “A”, “P” olmak üzere 5 farklı harf var)
- Tekrarsız permütasyon formülü:
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
- Bu durumda, “KİTAP” kelimesindeki harfleri 120 farklı şekilde sıralayabiliriz.
Örnek 2: “ANANAS” kelimesindeki harfleri kaç farklı şekilde sıralayabiliriz?
- Bu kelimede “A” harfi 3 kez, “N” harfi 2 kez tekrar etmektedir. O halde, tekrarlı permütasyon formülünü kullanmalıyız:
- n = 6 (çünkü toplam 6 harf var)
- Tekrarlı permütasyon formülü:
- P = 6! / (3! × 2!)
- 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
3! = 3 × 2 × 1 = 6
2! = 2 × 1 = 2 - Bu durumda:
- P = 720 / (6 × 2) = 720 / 12 = 60
- Yani “ANANAS” kelimesindeki harfleri 60 farklı şekilde sıralayabiliriz.
Tekrarlı Permütasyonun Kullanım Alanları
Tekrarlı permütasyon, birçok gerçek hayatta ve farklı alanlarda karşımıza çıkabilir. Özellikle aşağıdaki durumlarda tekrarlı permütasyon sıkça kullanılır:
- Dil ve yazı analizleri: Kelimelerdeki harflerin farklı sıralanışlarını bulmak.
- Oyunlar: Kart oyunları veya benzer oyunlarda tekrarlanan elemanların farklı dizilimlerini bulmak.
- Kimya ve biyoloji: Moleküllerin dizilimleri veya DNA dizilimlerinde tekrarlanan elemanların sıralanma ihtimalleri.
Özellikle büyük veri kümelerinde, birçok tekrar eden eleman olduğunda tekrarlı permütasyon formülü, gereksiz hesaplamaları ortadan kaldırarak daha doğru sonuçlara ulaşmamızı sağlar.
Çözümlü Örnek Test Soruları
Soru 1
“AAAB” kelimesinin harflerinin yan yana dizilmesiyle kaç farklı kelime oluşturulabilir?
A) 6
B) 12
C) 24
D) 4
Çözüm: “AAAB” kelimesinde 4 harf vardır. Burada A harfi 3 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülü n! / (p₁! × p₂! × … × pₖ!) şeklindedir. Bu durumda 4! / 3! = 24 / 6 = 4 bulunur. Cevap: D
Soru 2
“BALLOON” kelimesinin harfleriyle kaç farklı kelime oluşturulabilir?
A) 420
B) 840
C) 1260
D) 1680
Çözüm: “BALLOON” kelimesinde 7 harf vardır. L harfi 2 kez ve O harfi 2 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülüne göre, 7! / (2! × 2!) = 5040 / 4 = 1260 bulunur. Cevap: C
Soru 3
“STATISTICS” kelimesinin harflerinin farklı dizilişleriyle kaç farklı kelime oluşturulabilir?
A) 50400
B) 151200
C) 302400
D) 453600
Çözüm: “STATISTICS” kelimesinde toplam 10 harf vardır. T harfi 3 kez, S harfi 3 kez ve I harfi 2 kez tekrar etmektedir. Bu durumda, 10! / (3! × 3! × 2!) = 3628800 / 72 = 50400 bulunur. Cevap: A
Soru 4
“KOMMUNIKASYON” kelimesindeki harflerin tekrarlı permütasyonları kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 332640
B) 665280
C) 997920
D) 1330560
Çözüm: “KOMMUNIKASYON” kelimesinde 13 harf vardır. M harfi 2 kez, K harfi 2 kez, O harfi 2 kez ve N harfi 2 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülüne göre, 13! / (2! × 2! × 2! × 2!) = 6227020800 / 16 = 388800 bulunur. Cevap: A
Soru 5
“EXCELLENCE” kelimesindeki harfler kaç farklı şekilde sıralanabilir?
A) 90720
B) 181440
C) 272160
D) 362880
Çözüm: “EXCELLENCE” kelimesinde 9 harf vardır. E harfi 3 kez ve C harfi 2 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanarak, 9! / (3! × 2!) = 362880 / 12 = 30240 bulunur. Cevap: B
Soru 6
“PARALLEL” kelimesinin harfleriyle oluşturulabilecek farklı kelimelerin sayısı kaçtır?
A) 1680
B) 3360
C) 6720
D) 13440
Çözüm: “PARALLEL” kelimesinde toplam 8 harf vardır. L harfi 3 kez, A harfi 2 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülüne göre, 8! / (3! × 2!) = 40320 / 12 = 3360 bulunur. Cevap: B
Soru 7
“MISSISSIPPI” kelimesindeki harfler ile kaç farklı kelime oluşturulabilir?
A) 34650
B) 63000
C) 346500
D) 1386000
Çözüm: “MISSISSIPPI” kelimesinde toplam 11 harf vardır. S harfi 4 kez, I harfi 4 kez ve P harfi 2 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülü kullanılarak, 11! / (4! × 4! × 2!) = 39916800 / 1152 = 34650 bulunur. Cevap: A
Soru 8
“COMMITTEE” kelimesinde harflerin tekrarlı permütasyonları kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 45360
B) 75600
C) 90720
D) 151200
Çözüm: “COMMITTEE” kelimesinde toplam 9 harf vardır. M harfi 2 kez, T harfi 2 kez ve E harfi 2 kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülüne göre, 9! / (2! × 2! × 2!) = 362880 / 8 = 45360 bulunur. Cevap: A
