Soru 1: Tales Teoremi
Bir üçgende ABC açısında, AB ile AC kenarları paralel bir doğruda kesilmektedir. AB = 6 cm, AC = 9 cm ve BC = 4 cm'dir. Aynı paralel doğrularda, AB'ye paralel bir DE doğrusu çizilmiş ve DE = 4 cm olarak verilmiştir.
a) Paralel doğrular arasında kalan BE ve CE uzunluklarını Tales teoremi kullanarak hesaplayın.
b) DE'nin uzunluğunun neye orantılı olduğunu açıklayın.
Çözüm:
a) Tales teoremine göre, paralel doğrular arasında kalan kesitler orantılıdır. Verilen uzunluklar AB = 6 cm, AC = 9 cm ve DE = 4 cm olduğuna göre, BE ve CE uzunlukları orantılıdır.
AB / DE = AC / CE → 6 / 4 = 9 / CE
CE = (4 x 9) / 6 = 6 cm
Bu durumda, CE = 6 cm'dir.
Aynı şekilde:
AB / DE = BC / BE → 6 / 4 = 4 / BE
BE = (4 x 4) / 6 ≈ 2.67 cm
Bu durumda, BE ≈ 2.67 cm'dir.
b) Tales teoremi, paralel doğrular arasında kalan doğru parçalarının oranlarını koruduğu için DE, AB'ye orantılıdır.
Soru 2: Pisagor Teoremi
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları sırasıyla 6 cm ve 8 cm'dir.
a) Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremi kullanarak hesaplayın.
b) Eğer hipotenüs uzunluğunu yarıya indirdiğimizde yeni dik kenarların uzunlukları ne olur?
Çözüm:
a) Pisagor teoremi, dik üçgenin hipotenüsünü bulmak için şu şekilde kullanılır:
Hipotenüs² = 6² + 8²
Hipotenüs² = 36 + 64 = 100
Hipotenüs = √100 = 10 cm
b) Hipotenüs uzunluğu yarıya indirilirse yeni hipotenüs uzunluğu 5 cm olacaktır. Ancak, dik kenarların uzunlukları değişir ve bu yeni uzunlukları bulmak için orantı kurabiliriz:
Eski hipotenüs / Yeni hipotenüs = Eski dik kenar / Yeni dik kenar
Eski hipotenüs = 10 cm, Yeni hipotenüs = 5 cm. O halde:
6 / x = 10 / 5 → x = 6 x 5 / 10 = 3 cm
Aynı şekilde diğer dik kenar için:
8 / y = 10 / 5 → y = 8 x 5 / 10 = 4 cm
Bu durumda, yeni dik kenarlar 3 cm ve 4 cm olacaktır.
Soru 3: Öklid Teoremi
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 13 cm, hipotenüse ait yükseklik ise 12 cm'dir.
a) Öklid teoremi kullanarak dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarını hesaplayın.
b) Dik üçgenin alanını bulun.
Çözüm:
a) Öklid teoremi, bir dik üçgende yükseklik ve hipotenüsle ilgili ilişkiyi gösterir. Bu teoreme göre, hipotenüsün uzunluğu ve yükseklik bilindiğinde, dik kenarların uzunluklarını bulabiliriz. Yükseklik hipotenüsü iki eşit parçaya böler. Hipotenüs uzunluğu 13 cm ve yükseklik 12 cm olduğuna göre:
h² = p x q → 12² = p x q
144 = p x q
Hipotenüsün parçalarını bulmak için denklemi çözmemiz gerekir. Dik kenarları bulmak için ayrıca p ve q'nun oranı verilmelidir.
b) Dik üçgenin alanı şu şekilde bulunur:
Alan = 1/2 x hipotenüs x yükseklik = 1/2 x 13 x 12 = 78 cm²
Bu durumda, dik üçgenin alanı 78 cm²'dir.
Soru 4: Pisagor Teoremi
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 9 cm ve 12 cm'dir.
a) Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulun.
b) Eğer dik kenarların uzunlukları aynı oranda küçültülürse (oran 1/3), yeni hipotenüs uzunluğunu hesaplayın.
Çözüm:
a) Pisagor teoremi ile hipotenüsü hesaplayalım:
Hipotenüs² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
Hipotenüs = √225 = 15 cm
b) Dik kenarların uzunlukları 1/3 oranında küçültülürse:
Yeni dik kenarlar: 9 / 3 = 3 cm ve 12 / 3 = 4 cm olur.
Yeni hipotenüsü bulalım:
Hipotenüs² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Yeni hipotenüs = √25 = 5 cm
Bu durumda, yeni hipotenüs uzunluğu 5 cm olacaktır.
Soru 5: Tales Teoremi
Bir üçgende iki paralel doğru, taban üzerindeki kesitleri 4 cm ve 6 cm olan iki doğru parçası oluşturuyor. Bu paralel doğrular, aynı zamanda üçgenin yüksekliğini iki eşit parçaya bölüyor.
a) Paralel doğrular arasında kalan kesitlerin orantılı olduğunu gösterin.
b) Eğer üçüncü bir paralel doğru bu kesitlerin ortasından geçerse, bu üçüncü doğru parçasının uzunluğu ne olur?
Çözüm:
a) Tales teoremi, paralel doğrular arasında kalan kesitlerin orantılı olduğunu söyler. İlk iki doğru arasındaki uzunluklar 4 cm ve 6 cm'dir. Paralel doğrular olduğu için bu uzunlukların oranı korunur.
b) Üçüncü doğru, iki paralel doğru arasında ortadan geçerse, uzunluğu bu iki kesitin ortalaması olur:
Ortalama uzunluk = (4 + 6) / 2 = 5 cm
Bu durumda üçüncü paralel doğrunun uzunluğu 5 cm olacaktır.
