Soru 1:

Bir arazinin uzunluğu doğal sayı, genişliği tam sayı, alanı ise rasyonel sayı cinsinden ifade edilmektedir. Bu bilgilere göre, arazinin çevresini irrasyonel sayı cinsinden ifade etmek mümkün müdür?

Çözüm:

• Arazinin uzunluğu doğal sayı, yani 0 ve pozitif tam sayılar olabilir.
• Genişliği tam sayı olduğuna göre pozitif veya negatif tam sayı olabilir.
• Alanı ise rasyonel sayı olduğuna göre, bu iki sayının çarpımı bir rasyonel sayı olmalıdır.

Çevreyi irrasyonel sayı cinsinden ifade etmek ise imkânsızdır, çünkü doğal sayı ve tam sayının toplamı veya iki katı yine bir tam sayı veya rasyonel sayı olacaktır. Dolayısıyla, çevrenin irrasyonel sayı cinsinden ifade edilmesi mümkün değildir.

Soru 2:

Bir öğrenci, sayı kümelerini incelerken tam sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin farkını sormuştur. Buna göre, bu iki kümenin farkını nasıl tanımlarsınız?

Çözüm:

• Tam sayılar kümesi, negatif ve pozitif tam sayılar ile sıfırı içerir. Yani Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.
• Rasyonel sayılar kümesi ise iki tam sayının kesirli hali ile ifade edilen sayılardır. Yani Q = {a/b | a, b ∈ Z ve b ≠ 0}.

Tam sayılar, rasyonel sayılara da dâhildir çünkü her tam sayı, paydası 1 olan bir rasyonel sayı olarak ifade edilebilir (örneğin, 3 sayısı 3/1'dir). Ancak rasyonel sayılar, tam sayılar dışında kesirli ifadeler de içerir.

Sonuç: Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesini de kapsar, fakat kesirli sayıları da içerdiği için bu iki küme tam anlamıyla eşit değildir. Tam sayılar bir alt kümedir.

Soru 3:

Bir grup öğrencinin yaptığı araştırmada, irrasyonel sayılar ve rasyonel sayılar üzerinde çalışmaktadır. Öğrenciler, irrasyonel sayılarla rasyonel sayıların toplamının yine bir irrasyonel sayı olduğunu iddia etmişlerdir. Bu iddia doğru mudur?

Çözüm:

İrrasyonel sayı, ondalık açılımı sonlu olmayan ve kendini tekrar etmeyen sayılardır. Rasyonel sayılar ise iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilir.

• Bir irrasyonel sayı ile rasyonel sayının toplamı, genellikle irrasyonel bir sayı verir. Örneğin, √2 (irrasyonel) + 1/2 (rasyonel) = √2 + 0.5 olacaktır. Bu ifade irrasyonel bir sayı olur çünkü √2'nin ondalık açılımı sonlu değildir.

Ancak, bu durum her zaman doğru olmayabilir. Örneğin, irrasyonel sayı olan √2 ile -√2'nin toplamı sıfırdır, ki sıfır bir rasyonel sayıdır.

Sonuç: Genellikle bir irrasyonel sayı ile rasyonel sayının toplamı irrasyonel bir sayıdır, ancak istisnai durumlar mevcuttur.

Soru 4:

Bir sayı hem tam sayı hem de rasyonel sayı olabilir mi? Örnek vererek açıklayınız.

Çözüm:

Evet, bir sayı hem tam sayı hem de rasyonel sayı olabilir. Rasyonel sayı, iki tam sayının kesirli hali ile ifade edilen her sayıdır. Tam sayılar ise pozitif, negatif tam sayılar ve sıfırdır.

Örneğin, 5 sayısı bir tam sayıdır. Aynı zamanda 5, rasyonel sayı olarak da ifade edilebilir: 5 = 5/1. Bu yüzden 5 sayısı hem tam sayı hem de rasyonel sayıdır.

Bu mantıkla tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayıdır.