Rasyonel sayılar, bir tam sayının başka bir tam sayıya bölümü olarak ifade edilir. Bu sayılar, hem kesirli hem de tam sayıları içerir ve günlük yaşamda oranlama, paylaşım ve ölçme gibi birçok alanda kullanılır. Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılırken pay ve payda ilişkisine dikkat etmek gerekir. Bu ders notunda, rasyonel sayılarla ilgili temel işlemleri ve problemlerin nasıl çözüldüğünü kavrayacağız.

Rasyonel Sayılar ve Rasyonel Sayılarla İşlemler Testleri

7. Sınıf Rasyonel Sayılar ve Rasyonel Sayılarla İşlemler Konu Anlatımı

Bilgi Kutusu: Sıfırdan büyük rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar Q⁺ ile gösterilir. Sıfırdan küçük rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir. Negatif rasyonel sayılar Q^– ile gösterilir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar ile sıfır sayısı rasyonel sayılar oluşturur. Sonuç olarak doğal sayılar tam sayıların içinde tam sayılarda rasyonel sayıların içindedir.

Uyarı: İki rasyonel sayı arasında daima yeni bir rasyonel sayı yazabiliriz. Bu durum rasyonel sayıların sayı doğrusu üzerinde yoğun olduğunu gösterir. İki kesrin toplamının yarısı kesirlerin orta noktasını verir. Bu, kesirlerin aritmetik ortalamasıdır.

Rasyonel Sayıların Farklı Gösterimleri

Ondalık Gösterimler

Bilgi Kutusu: Paydası 10 ve 10’un katı şeklinde yazılabilen kesirlere ondalık kesir denir.

Uyarı: Her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi vardır.

Bilgi Kutusu: Bir rasyonel sayının payı paydasına bölünerek ve virgül kullanarak yazılmasına o rasyonel sayının ondalık gösterimi veya ondalık açılımı denir.

Bilgi Kutusu: Ondalık gösterimlerin kesir kısmında sürekli tekrar eden sayılar bulunuyorsa bu ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterimler denir.

Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme

RASYONEL SAYILARIN SIRALANMASI

Sayı Doğrusundan Yararlanarak Sıralama

Karşılaştırma Yöntemi ile Sıralama

Pozitif rasyonel sayıları sıralayabilmek için,

• Bütüne yakınlık
• Yarıma yakınlık
• Kesirlerin pay ve paydalarına göre karşılaştırma
• Ondalık gösterime çevirme

yöntemlerinden en uygun olanları tercih edilerek sıralama yapılabilir.

Kesirlerin Pay ve Paydalarına Göre Karşılaştırma

• Payları eşit olan pozitif kesirler karşılaştırılırken paydası büyük olan kesir daha küçüktür, paydası küçük olan kesir daha büyüktür.
  12, 13, 14 kesirlerini sıralarsak12>13>14’tür.
• Paydaları eşit olan pozitif kesirler karşılaştırılırken payı büyük olan kesir daha büyük, payı küçük olan kesir daha küçüktür.
  25, 35, 15 kesirlerini sıralarsak 35>25>15’tir.
• Pozitif kesirlerin pay ya da paydaları eşit değilse kesirlerin payları ya da paydaları eşitlenerek sıralama yapılabilir.
• Pay ile payda arasındaki farkı eşit olan pozitif basit kesirlerde sıralama yapılırken paydası büyük olan kesir daha büyük, paydası küçük olan kesir daha küçüktür.
  1213, 1314, 171172 kesirlerindepay ile payda arasındaki fark aynı olduğundan kurala göre

  171172>1314>1213sıralaması bulunur.

• Pozitif bileşik kesirler de sıralama yapılırken bileşik kesirler tam sayılı kesre çevrilir. Tam kısmı büyük olan kesir en büyüktür. Tam kısımları eşit olan kesirlerin yanındaki basit kesirlerin sıralaması yapılarak istenen sıralama bulunur.

Ondalık Gösterime Çevirme

Kesirlerin paydalarını 10 ve 10’un kuvveti olacak şekilde genişletme yapılır. Kesirler ondalık gösterime çevrilerek sıralama yapılır.

Negatif Rasyonel Sayıları Sıralama

Bilgi Kutusu: Negatif rasyonel sayılar sıralanırken sayılar pozitif rasyonel sayı gibi düşünülerek sıralama yapılır. Daha sonra sıralamadaki eşitsizlik yön değiştirilir.

Rasyonel Sayılar Çözümlü Sorular

Çözümlü Örnek Test Soruları

Soru 1:

Bir çiftlikte, tüm arazinin 2/5’ine buğday, 1/3’üne ise arpa ekilmiştir. Geri kalan kısım ise boş bırakılmıştır. Eğer boş bırakılan arazi 15 dönümse, çiftliğin toplam büyüklüğü kaç dönümdür?

A) 30 dönüm
B) 45 dönüm
C) 60 dönüm
D) 75 dönüm

Çözüm:
Toplam araziyi x ile gösterelim. Çiftliğin 2/5’i buğday, 1/3’ü arpa ekilmişse, boş bırakılan kısım 1 – 2/5 – 1/3 oranındadır.

Ortak payda ile çıkaralım:
1 – 6/15 – 5/15 = 4/15 oranında arazi boş bırakılmıştır. Bu oran 15 dönüme eşit olduğuna göre:
4/15x = 15,
x = 15 x 15 / 4 = 56.25 dönüm.

Toplam arazi 56.25 dönümdür.
Doğru cevap: B) 45 dönüm

Soru 2:

Bir otobüs, yolculuğun 3/4’lük kısmını tamamlamış ve kalan kısmı ise 30 kilometredir. Otobüsün yolculuğun tamamı kaç kilometredir?

A) 80 km
B) 100 km
C) 120 km
D) 150 km

Çözüm:
Yolculuğun 3/4’ü tamamlandığına göre, kalan 1/4’lük kısım 30 kilometredir. Otobüsün toplam yolculuğunu bulmak için:
1/4x = 30,
x = 30 x 4 = 120 kilometre.

Otobüsün toplam yolu 120 kilometredir.
Doğru cevap: C) 120 km

Soru 3:

Bir su tankı, her biri 1/5 oranında doldurularak beş günde tamamen dolacaktır. İlk gün tankın 2/5’i dolduğuna göre, geri kalan kısım kaç gün içinde dolacaktır?

A) 3 gün
B) 4 gün
C) 2 gün
D) 5 gün

Çözüm:
İlk gün tankın 2/5’i dolmuştur. Geriye 1 – 2/5 = 3/5’lik kısım kalmıştır. Her gün 1/5 oranında doldurulduğuna göre, 3/5’lik kısmın dolması için gereken süre:
3/5 ÷ 1/5 = 3 gün.

Doğru cevap: A) 3 gün

Soru 4:

Bir marangozun 24 metrelik tahtasının 1/3’ü kadar kısmı masa yapımı için kullanılmıştır. Kalan kısmın 1/2’si de raf yapımı için harcanmıştır. Raf yapımı için kaç metre tahta kullanılmıştır?

A) 8 metre
B) 10 metre
C) 12 metre
D) 16 metre

Çözüm:
Marangozun 24 metrelik tahtasının 1/3’ü masa yapımı için kullanılmıştır. Bu durumda masa için kullanılan miktar:
1/3 x 24 = 8 metredir.

Geri kalan miktar:
24 – 8 = 16 metredir.

Bu kalan miktarın 1/2’si raf yapımı için kullanılmıştır:
1/2 x 16 = 8 metre raf yapımı için kullanılmıştır.

Doğru cevap: A) 8 metre