Polinom Denklemler ve Rasyonel Denklemler

• P(x) polinomu en az birinci dereceden olmak üzere, P(x) = 0 eşitliğine polinom denklemi denir.
• Rasyonel Denklemler: P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere, P(x)/Q(x) = 0 biçimindeki denklemlere rasyonel denklemler denir. Rasyonel denklemin çözüm kümesi bulunurken payın kökleri bulunur. Bulunan değerler arasında paydayı sıfır yapan değerler varsa bu değerler çözüm kümesine alınmaz.

Çözümlü Örnek Test Soruları:

• Aşağıdaki rasyonel ifadeyi sadeleştiriniz:
  4x² / 2x
  A) 2x
  B) 4x
  C) 2x²
  D) x
  Cevap: A) 2x
  Çözüm: Pay ve payda 2x ile sadeleştirilir. Sonuç: 2x.
• Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:
  (x² – 9) / (x + 3)
  A) x – 3
  B) x + 3
  C) x² + 9
  D) x – 9
  Cevap: A) x – 3
  Çözüm: Pay (x – 3)(x + 3) şeklinde çarpanlarına ayrılır. (x + 3) sadeleştirilir. Sonuç: x – 3.
• Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:
  (x² + 3x) / x
  A) x + 3
  B) x – 3
  C) x² + 3
  D) 3x
  Cevap: A) x + 3
  Çözüm: Pay x ortak çarpanına ayrılır: x(x + 3). Daha sonra x sadeleştirilir. Sonuç: x + 3.
• Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:
  6x³ / 3x²
  A) 2x
  B) 3x
  C) 2x²
  D) 6x²
  Cevap: A) 2x
  Çözüm: Pay ve payda 3x² ile sadeleştirilir. Sonuç: 2x.
• Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:
  (x² – 4) / (x² + 2x + 4)
  A) x + 2
  B) x – 2
  C) 1
  D) Sadeleştirilemez
  Cevap: D) Sadeleştirilemez
  Çözüm: Pay (x – 2)(x + 2) olarak çarpanlarına ayrılır. Ancak payda çarpanlarına ayrılamaz. Bu nedenle sadeleştirme yapılamaz.
• Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:
  (x² – 6x + 9) / (x – 3)
  A) x – 3
  B) x + 3
  C) x – 6
  D) x
  Cevap: A) x – 3
  Çözüm: Pay (x – 3)² olarak çarpanlarına ayrılır. (x – 3) sadeleştirilir. Sonuç: x – 3.

Q(x) a ≠ 0 olmak üzere P(x) / Q(x) = 0 şeklindeki ifadelere rasyonel denklem denir. Bu denklemin kökleri, bu eşitliği sağlayan reel sayılardır. Bu denklemi çözmek için sadece P(x) = 0 denklemini çözmek yeterlidir.

P(x) / Q(x) = 0 denkleminde P(x) = 0 sağlayan sayılar aynı zamanda Q(x) = 0 yapıyorsa bu sayıları kök kabul edemeyiz. Çünkü Q(x) = 0 için tanımsızlık oluşur.

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafınında paydası aynı ise yani; a / c = b / d şeklinde ise a = b diye çözüme gidebiliriz. B(x) ≠ 0 olmak üzere A(x)/B(x) şeklindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir. A(x) ve B(x) çarpanlarına ayrılıp ortak çarpanlar sadeleştirilerek A(x) / B(x) rasyonel ifadesinin sadeleşmiş biçimi bulunur.

Örnek: P(x) polinomunun (x – 4) ile bölümünden kalan 8, (x + 2) ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, P(x) polinomunun (x – 4)(x + 2) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x-4 B) x-4 C) 2x+4 D) x+4 E) 4x+2

Örnek: a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, P(x) = (2x + a)(3x + b) polinomunun katsayılarının toplamı 21 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 24 B) 19 c) 5 D) 4 E) 1

Örnek: P(x) = x5 – mx3 – 3 olmak üzere, P(x – 2) polinomunun x + 2 ye bölümünden kalan ile P(x + 2) polinomunun x – 2 ye bölümünden kalan birbirine eşittir. Buna göre, m kaçtır?
A) 24 B) 18 c) 17 D) 16 E) 8