Polinomlarda Derece Soruları ve Çözümleri

Polinomlarda Derece Bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1:
Aşağıdaki polinomlardan hangisinin derecesi en yüksektir?

A) P(x) = 5x³ + 2x² – 7
B) Q(x) = x⁴ – 3x + 1
C) R(x) = -2x² + x – 5
D) S(x) = 4x⁵ – x³ + 7
E) T(x) = 3x⁶ + 2x³ – 1

Cevap: En yüksek dereceye sahip terim T(x) polinomunda 6. derecedir. Doğru cevap E şıkkıdır.

Soru 2:
P(x) = 2x⁷ – 4x⁵ + 3x³ – 8 polinomunun derecesi kaçtır?

A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2

Cevap: Polinomun en yüksek dereceli terimi 2x⁷ olduğundan polinomun derecesi 7’dir. Doğru cevap A şıkkıdır.

Soru 3:
Q(x) = -x⁶ + 4x² – 5x + 2 polinomunun derecesi nedir?

A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6

Cevap: En yüksek dereceye sahip terim x⁶ olduğundan polinomun derecesi 6’dır. Doğru cevap E şıkkıdır.

Soru 4:
R(x) = 3x⁴ – 2x³ + x – 9 polinomunun derecesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Cevap: En yüksek dereceye sahip terim x⁴ olduğundan polinomun derecesi 4’tür. Doğru cevap D şıkkıdır.

Soru 5:
S(x) = -7x² + 4 polinomunun derecesi kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Cevap: En yüksek dereceye sahip terim x² olduğundan polinomun derecesi 2’dir. Doğru cevap C şıkkıdır.

Soru 6:
T(x) = 5 polinomunun derecesi nedir?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Belirlenemez

Cevap: Sabit bir polinomun derecesi 0’dır. Doğru cevap A şıkkıdır.

P(x) polinomun derecesi m, Q(x) polinomunun derecesi n ve m > n olmak Üzere,
a) der[P(x) + Q(x)] = m
b) der[P(x) – Q(x)] = m
(Toplam veya fark polinomlarında derecesi büyük olanın derecesi alınır.)
c) der[P(x) . Q(x)] = m + n (Çarpmada derecelerin toplamı alınır.)
d) der[P(x)/Q(x)] = m – n (Bölmede derecelerin farkı alınır.)

Örnek: der[P(x)] = 3 olduğuna göre 2der[P(x)] + der[2P(x)] kaçtır?
Çözüm: der[2P(x)] = der[P(x)] olacağından 2der[P(x)] + der[2P(x)] = 2.3 + 3 = 9 olur.

Örnek: P(x) bir polinom olmak üzere der[ P(x) ] = 6 ise der[ x2.P(x3) ] kaçtır?
Çözüm: der[ P(x) ] = 6 ise der[ P(x3) ] = 3.6 = 18 (P(x) = x5 ise P(x3) = (x3)5 = x olduğundan)
der[ x2.P(x3) ] = der(x2) + der[ P(x3) ] = 2 + 18 = 20 olur.

Örnek: P(x) ve Q(x) birer polinom ve a e N dir.
der[ P(x) ] = 2a + 3, der[ Q(x) ] = 3a + 3 ve der[ P(x) + Q(x) ] = 15 olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm: 3a + 3 > 2a + 3 olduğundan toplamın derecesi 3a + 3 tür. Yani 3a+3=15 a› 3a=12 a› a=4 bulunur.

• Polinomunun değişkeni olan x’in bir gerçek sayı alınması durumunda, Yani P(x) polinomu R → R olması durumunda P(x) polinomuna polinom fonksiyon denir.

P(x) = 3×2 – 5x – 7 polinomunun sabit teriminin (- 7) olduğunu biliyoruz. Bu polinomda değişkenlere sıfır değerini verirsek;
P(0)=3.02-5.0-7=-7 Gördüğünüz gibi sonuç (- 7) olur. O halde; Bir polinomda sabit terimi bulmak için değişken yerine 0 yazılır.
– Sabit terimi bulmak için değişken yerine sıfır yazmak demek daima P(0) bulmak değildir.
– Dikkat ettiyseniz “sabit terimi bulmak için P(0) bulunacak” demedik. x yerine sıfır yazılacak dedik. Yani P(0) olmuş, P(5) olmuş bizi ilgilendirmiyor. Sonuçta sabit terimi bulmuş oluyoruz.
Örneğin;P(x) in sabit terimi P(0)
P(x + 2) nin sabit terimi P(2)
P(2x – 3) ün sabit terimi P(-3) ifadelerine de eşit olur.

P(x) = 3×2 – 5x – 7 polinomunun katsayıları 3, (-5), (- 7) sayılarıdır. Bunların toplamı (- 9) dur. Bu polinomda değişkenlere 1 değerini verirsek.
P(1)=S.12-5.1-7=-9 olur.
Gördüğünüz gibi sonuç (-9) oluyor. O halde “Bir polinomda katsayılar toplamını bulmak için değişken yerine “1” yazılır.” P(1) bulunacak demedik. Değişken yerine 1 yazılır. Değişkene 1 değerini verdikten sonra P(2) yi bulmuşuz, P(- 5) i bulmuşuz çok önemli değil. Sonuçta katsayılar toplamını bulmuş oluruz.
Örneğin; -P(x) in katsayıları toplamı P(1) eşittir.
– P(x + 4) ün katsayılar toplamı P(5) e eşittir.
– P(3x – 1) in katsayılar toplamı P(2) ye eşittir.