Pascal Üçgeni ve Binom Teoremi, 10. sınıf matematik müfredatında yer alan ve kombinatorik ile cebirsel hesaplamalarda önemli bir rol oynayan iki temel kavramdır. Bu iki konu, polinomların açılımı, kombinasyonların hesaplanması ve olasılık teorisi gibi birçok matematiksel alanda kullanılır. Pascal Üçgeni, elemanları kombinasyon katsayıları olan simetrik bir üçgendir ve binom açılımında kullanılan katsayıları bulmamıza olanak sağlar. Binom teoremi ise iki terimli ifadelerin (binomların) kuvvetlerinin açılımını sistematik bir şekilde yapmayı sağlayan bir formüldür. Bu bölümünde, Pascal Üçgeni ve Binom Teoremi’nin temel kavramlarına değinilecek ve bunların matematiksel problemlerin çözümünde nasıl kullanılacağı açıklanacaktır. Öğrenciler, bu iki kavramın ilişkisini anlayarak, kombinatorik problemlerde ve binom açılımlarında doğru çözümler üretebileceklerdir.

10. Sınıf Binom Açılımı Testleri

10. Sınıf Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Ders Notu

Pascal Üçgeni

Binom Açılımı

Taktik: (a+b)ⁿ açılımında terimler a’nın azalan kuvvetlerine göre yazıldığında sondan p. terim için
r = n – p + 1‘dir.

Örneğin, (a+b)¹⁰ açılımında a’nın azalan kuvvetlerine sıralama yapıldığında sondan 4. terim için:
r = 10 – 4 + 1 = 7’dir. Dolayısıyla sondan p. terim baştan (n – p + 2) terimdir.

Binom Açılımı Soruları ve Çözümleri

1. ÜNİTE: SAYMA VE OLASILIK

A. Sıralama ve Seçme

• Sayma Yöntemleri
• Faktöriyel
• Permütasyon
• Tekrarlı Permütasyon
• Kombinasyon
• Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı

B. Basit Olayların Olasılıkları

• Basit Olayların Olasılıkları

Pascal üçgeninin özellikleri şunlardır:

• Pascal üçgeninin her bir satırındaki sayılar, o satırdaki sayının sol ve sağındaki sayıların çarpımına eşittir.
• Pascal üçgeninin her bir satırının ilk ve son sayısı 1’dir.
• Pascal üçgeninin her bir satırının ortasındaki sayı, o satırın sayısıdır.
• Pascal üçgeninin bir satırındaki sayıların toplamı, o satırın üzerindeki sayıların toplamına eşittir.

Pascal üçgeninin uygulamaları şunlardır:

• Binomial açılımlarda, Pascal üçgeni kullanılarak, bir iki terimli ifadenin genişletilmiş formu kolayca elde edilebilir.
• Binom katsayılarının hesaplanmasın da, Pascal üçgeni kullanılarak, bir iki terimli ifadenin katsayıları kolayca hesaplanabilir.
• Olasılık teorisinde, Pascal üçgeni kullanılarak, bir olayın gerçekleşme olasılığı hesaplanabilir.
• Kombinatorikte, Pascal üçgeni kullanılarak, bir kümenin alt kümelerinin sayısı hesaplanabilir.

Soru: (Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı İlişkisi)

Bir öğrenci, Pascal üçgeninde 6. satırın elemanlarını kullanarak (x+y)⁵ açılımını yapıyor. Öğrencinin yazacağı açılımın terimlerini Pascal üçgeni yardımıyla belirleyin.

Çözüm: Pascal üçgeninin 6. satırındaki elemanlar, (x+y)⁵ açılımındaki katsayıları verir. Pascal üçgeninin 6. satırındaki elemanlar şunlardır:
1, 5, 10, 10, 5, 1.

(x+y)⁵ açılımı, bu katsayılarla şu şekilde yazılır:

• x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵

Bu açılımda, her terimin katsayısı Pascal üçgeninin 6. satırındaki değerlerden alınmış ve kuvvetler uygun şekilde düzenlenmiştir.

Soru: (Pascal Üçgeninde Kombinasyon)

Bir öğrenci, Pascal Üçgeninin 7. satırındaki elemanları kullanarak (x + 2)⁶ açılımını yapıyor. Öğrenci, 7. satırın elemanlarını nasıl kullanacaktır? Açılımı yazın.

Çözüm: (x + 2)⁶ açılımını yapmak için Pascal üçgeninin 7. satırındaki elemanlar kullanılır:
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Bu katsayılar kullanılarak açılım şu şekilde olur:

• x⁶ + 6x⁵ × 2 + 15x⁴ × 2² + 20x³ × 2³ + 15x² × 2⁴ + 6x × 2⁵ + 2⁶

Açılımın sonucu:

• x⁶ + 12x⁵ + 60x⁴ + 160x³ + 240x² + 192x + 64

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. Pascal üçgeninde 6. sırada bulunan sayılar hangileridir?
   A) 1, 4, 6, 4, 1
   B) 1, 5, 10, 10, 5, 1
   C) 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
   D) 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7
   Cevap: C
   Çözüm: Pascal üçgeninde her sıradaki sayılar, bir önceki sıradaki sayıların toplamıyla oluşturulur. 6. sıradaki sayılar 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 şeklindedir.
2. Binom açılımında (x + y)⁴’ün açılımındaki terimlerden üçüncüsünün katsayısı kaçtır?
   A) 6
   B) 12
   C) 24
   D) 36
   Cevap: C
   Çözüm: Terim katsayısı formülü kombinasyon (n seç k) = n! / [k! * (n-k)!] ile hesaplanır. Burada n = 4, k = 2 alınır:
   (4 seç 2) = 4! / (2! * 2!) = 6. Katsayı 6 olup, üçüncü terimde x² * y² olduğu için katsayı 6 * 2² = 24’tür.
3. Pascal üçgeninde 5. sıradaki toplam değeri bulunuz.
   A) 16
   B) 32
   C) 64
   D) 8
   Cevap: B
   Çözüm: Pascal üçgeninde her sıradaki sayıların toplamı 2ⁿ’dir. 5. sırada toplam 2⁵ = 32 olur.
4. Binom açılımında (x – 2)³’ün açılımındaki sabit terim kaçtır?
   A) -8
   B) -16
   C) -24
   D) -32
   Cevap: D
   Çözüm: Sabit terim için x’in kuvveti sıfır yapan terim seçilir. Bu durumda:
   (3 seç 3) * (-2)³ = -8 * 4 = -32.
5. (3x + 2)⁵’in açılımında en büyük katsayı hangi terime aittir?
   A) x³
   B) x²
   C) x⁴
   D) x
   Cevap: A
   Çözüm: Orta terimde katsayılar maksimum olur. x³ teriminde katsayı (5 seç 3) * 3³ * 2² = 540’tır.
6. (x + 1)⁶’nın açılımında kaç farklı terim vardır?
   A) 6
   B) 7
   C) 8
   D) 9
   Cevap: B
   Çözüm: Binom açılımında terim sayısı her zaman n + 1 kadardır. Burada n = 6, terim sayısı 6 + 1 = 7’dir.
7. Pascal üçgeninde 8. sıranın ikinci elemanı kaçtır?
   A) 7
   B) 8
   C) 28
   D) 56
   Cevap: B
   Çözüm: Pascal üçgeninde her sıradaki ikinci eleman, sıranın numarasına eşittir. 8. sırada ikinci eleman 8 olur.
8. (2x – 1)⁴’ün açılımındaki x³ teriminin katsayısı kaçtır?
   A) 16
   B) -16
   C) -32
   D) 32
   Cevap: C
   Çözüm: x³ terim için katsayı:
   (4 seç 3) * (2³) * (-1) = -32.