Soru: A ={a, b, c, d, e, f, g} olmak üzere
a. A kümesinin alt kümelerinin kaçında sesli harf bulunmadığını
b. A kümesinin alt kümelerinin kaçında b veya d elemanın bulunduğunu
c. A kümesinin alt kümelerinin kaçında e, f ve g nin birlikte bulunduğunu bulalım.
Çözüm: a. s(A) = 7 dir. A kümesinin elemanlarından sesli harf olanları çıkarırsak geriye 5 eleman kalır. 5 elemanla yazılabilen alt küme sayısı, 25 = 32 olduğundan A kümesinin 32 alt kümesinde sesli harf yoktur.
b. A kümesinin elemanlarından b ve d yi çıkarırsak geriye kalan 5 elemanla 25 = 32 alt küme yazılır. 32 alt kümede b ve d yoktur. A kümesi 7 elemanlı olduğundan, A kümesinin 27 =128 alt kümesi vardır. A kümesinin tüm alt küme sayısından içinde b ve d nin olmadığı alt küme sayısını çıkarırsak geriye kalan alt kümelerde b veya d elemanı vardır. O hâlde b veya d nin bulunduğu alt küme sayısı 128 – 32 = 96 olur.
c. A kümesinin elemanları içerisinde e, f, g yi ayırırsak geriye 4 eleman kalır. 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 24 = 16 dır. Bu 16 alt kümeye e, f ve g yi eklersek istenen şart gerçekleşeceğinden e, f ve g nin birlikte bulunduğu alt küme sayısı 16 olur.
Örnek: A ={1, 2, {3, 4}, 5} olmak üzere
I. s(A) = 4
II. A kümesinin alt küme sayısı 16 dır.
III. {3, 4} ⊂ A dır.
Yukarıdaki ifadelerden hangisinin ya da hangilerinin doğru olduğunu bulalım.
Çözüm: {3, 4} kümesi A kümesinde eleman olarak bulunmaktadır. 1 ∈ A, 2 ∈ A, {3, 4} ∈ A ve 5 ∈ A olduğunda s(A) = 4 olur. 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı, 24 = 16 olur. {3, 4} ∈ A olduğundan {3, 4} ⊄ A dır ({3, 4} ∈ A ise {{3, 4}} ⊂ A olur.). Bu durumda I ve II. ifadeler doğru, III. ifade yanlıştır.
Örnek: A = {x | x, bir doğal sayı}, B = {x | x, negatif olmayan bir tam sayı} ve C = {x | x, pozitif tam sayı} kümelerinin eşit kümeler olup olmadıklarını inceleyelim.
Çözüm: A kümesi doğal sayıların kümesidir. A = {0, 1, 2, 3, ...} olur. B kümesi de negatif olmayan tam sayılar kümesidir. B = {0, 1, 2, 3, ...} olur. C kümesi pozitif tam sayılar kümesidir. C = {1, 2, 3, ...} olur. A ile B kümeleri aynı elemanlardan oluşmaktadır. A ⊂ B ve B ⊂ A olduğundan A = B olur.
0 ∈ A, 0 ∈ B ve 0 ∉ C dir. C ⊂ A, C ⊂ B fakat A ⊄ C ve B ⊄ C olduğundan A ≠ C ve B ≠ C bulunur.
