Kümelerle sembolik mantık arasındaki ilişkilerden bazıları aşağıdaki tablolarda verilmiştir.

Küme İşlemleri ile Sembolik Mantık Kuralları Arasındaki İlişki Soruları ve Çözümleri

Çözümlü Örnek Test Soruları: Küme İşlemleri ile Sembolik Mantık Kuralları Arasındaki İlişki

1. Aşağıdaki küme işlemlerinden hangisi, mantıktaki “ve” bağlacı (∧) ile benzer anlama sahiptir?
A) Kesişim işlemi (∩)
B) Birleşim işlemi (∪)
C) Tümleyen (‘)
D) Boş küme (∅)

Çözüm:
Kümelerde kesişim işlemi (A ∩ B), iki kümenin ortak elemanlarını içerir. Mantıkta ise “ve” bağlacı (A ∧ B), iki önermenin aynı anda doğru olmasını ifade eder. İkisi de ortak öğeleri temsil ettiği için kesişim işlemi ile “ve” bağlacı aynı anlama gelir.
Cevap: A

---

2. Sembolik mantıkta “veya” bağlacı (∨) ile küme işlemleri arasındaki ilişki hangi seçenekte doğru verilmiştir?
A) A ∪ B (Birleşim)
B) A ∩ B (Kesişim)
C) A’ (Tümleyen)
D) A – B (Fark)

Çözüm:
Mantıktaki “veya” bağlacı (A ∨ B), en az bir önermenin doğru olmasını ifade eder. Küme teorisinde birleşim işlemi (A ∪ B) de en az bir kümede bulunan elemanları kapsar. Bu nedenle birleşim işlemi, mantıktaki “veya” bağlacı ile eşdeğerdir.
Cevap: A

---

3. Mantıktaki “değil” işlemi (¬A), küme işlemlerinden hangisiyle eşdeğerdir?
A) A’ (A kümesinin tümleyeni)
B) A ∩ B (Kesişim)
C) A ∪ B (Birleşim)
D) A – B (Fark)

Çözüm:
Mantıkta “¬A” ifadesi, A önermesinin doğruluğunun tersini ifade eder (A yanlış ise doğru, A doğru ise yanlış olur). Küme teorisinde A’nın tümleyeni (A’) de A kümesine ait olmayan elemanları içerir. Bu iki işlem aynı anlama geldiği için doğru cevap A’ (Tümleyen) olur.
Cevap: A

---

4. “Dağıtma özelliği” küme işlemleri ve sembolik mantık arasında nasıl bir benzerlik gösterir?
A) (A ∩ (B ∪ C)) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
B) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
C) A ∪ B = B ∪ A
D) A ∩ B = B ∩ A

Çözüm:
Dağıtma özelliği, hem küme işlemlerinde hem de sembolik mantıkta geçerlidir. Küme işlemlerinde,

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  bu kurallara benzer şekilde, mantıksal ifadelerde de A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) şeklinde dağıtılabilir.
  Cevap: A

---

5. De Morgan Kuralları, kümeler ve sembolik mantık ilişkisi açısından aşağıdakilerden hangisini ifade eder?
A) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ve (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
B) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
C) A ∩ B = B ∩ A
D) A ∪ B = B ∪ A

Çözüm:
De Morgan Kuralları, küme işlemleri ve mantıksal işlemler arasında bir benzerlik kurar. Küme teorisinde:

• (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
• (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Mantıkta da:

• ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
• ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

Bu kurallar aynı yapıya sahiptir.
Cevap: A

---

Örnek: Aşağıda verilen eşitlikleri sembolik mantık kurallarını kullanarak gösteriniz.
a. E n A = A
b. A – B = A n B’
Çözüm: a. E n A = {x: x ∈ E ∧ x ∈ A} = A (x ∈ E = 1)
b. A – B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B} = A n B’

Soru: p ve q önermeleri sırasıyla A ve B kümeleri ile ilişkilidir. Buna göre, (p’ v q) ∧ (p ∧ q’) önermesinin A ve B kümeleri cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? (C şıkkı)
A) (AnB’) U (A’UB)   B) (A’UB) n (A’UB)
C) (A’UB) n (AnB’)   D) (AUB) n (A n B’)
E) (A’UB) n (AnB)

Soru: A ve B kümeleri sırasıyla p ve q önermeleri ile ilişkilidir. Buna göre, (A’ U E) n (Ø n B) işleminin bileşik önermeler cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) (P’ v 1) ∧ (0 v q)   B) (p v 1) ∧ (0 ∧ q)
C) (1 v 0) ∧ (0 ∧ 1)    D) (p’ v 1) ∧ (0 ∧ q)
E) (P’ v 0) ∧ (1 ∧ q)

Soru: A, B, C kümeleri sırasıyla p, q, r önermeleri ile ilişkilidir. Buna göre, (A – B’) n (C n E) işleminin sembolik mantıkla ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? (E şıkkı)
A) p v q v r        B) p v (q ∧ r)
C) (p ∧ q) v r    D) (p ∧ q’) ∧ r
E) p ∧ q ∧ r

Soru: p ve q önermeleri sırasıyla A ve B kümeleri ile ilişkilidir. [p v (p ∧ q’)] ∧ (q ∧ q’) önermesinin en sade şeklinin kümelerle ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? (B şıkkı)
A) E   B) Ø   C) A   D) B   E) A’