Kosinüs ve Sinüs Teoremi, 11. sınıf matematikte üçgenlerde kenar ve açı hesaplamaları için kullanılan önemli konulardır. Bu teoremlerle ilgili test soruları, öğrencilerin trigonometri bilgilerini pekiştirmek ve üçgen çözümlemelerinde becerilerini artırmak amacıyla hazırlanır. Kosinüs Teoremi, bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı veya açıyı bulmaya yardımcı olurken; Sinüs Teoremi, kenarlar ve açıların sinüs değerleri arasındaki orantıyı kullanarak eksik kenar veya açıları bulmayı sağlar. Bu tür testler, gerçek yaşam problemlerini çözerken matematiksel düşünmeyi güçlendirir ve sınavlarda başarıya ulaşmayı hedefler.

11. Sınıf Kosinüs ve Sinüs Teoremi Konu Anlatımı

11. Sınıf Kosinüs ve Sinüs Teoremi Testleri

Kosinüs ve Sinüs Teoremi Test 1 Çöz

Çözümlü Sorular

Soru 1 (Kosinüs Teoremi):

Bir mühendis, iki noktası A ve B olan bir yolun uzunluğunu hesaplamak için bir üçgen modeli kullanıyor. A ve B noktalarının arasındaki mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür. Aynı zamanda, A ile B arasındaki yolun eğimi, her iki noktanın zeminle yaptığı açı 45° olarak belirlenmiştir. Mühendis, A ile B arasındaki eğimli yolun uzunluğunu hesaplamak istiyor. Mühendisin bu yolu hesaplayabilmesi için kullanacağı üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu kaç metredir?

A) 10 metre
B) 15 metre
C) 17 metre
D) 20 metre
E) 12 metre

Çözüm: Bu soruda iki kenar uzunluğu ve açı verilmiştir. Kosinüs Teoremi’ni kullanarak çözebiliriz. Üçüncü kenarı bulmak için:

Kosinüs Teoremi’ne göre: c² = a² + b² – 2ab * cos(C)

Burada:

• a = 12 metre
• b = 12 metre
• C = 45°

Şimdi yerine koyalım: c² = 12² + 12² – 2 * 12 * 12 * cos(45°)

cos(45°) = 0.707 olduğuna göre: c² = 144 + 144 – 2 * 12 * 12 * 0.707 c² = 288 – 203.04 c² = 84.96

c = √84.96 ≈ 9.22 metre

Yaklaşık üçüncü kenar uzunluğu 9.22 metredir, bu da yaklaşık 10 metredir.

Doğru cevap: A)

Soru 2 (Sinüs Teoremi):

Bir astronom, bir dağın zirvesine bakarken üçgen modelleme yaparak dağın yüksekliğini hesaplamak istiyor. Astronomun bulunduğu nokta ile zirve arasındaki mesafe 15 km olarak ölçülmüştür. Zirvenin bulunduğu açı ise 35° olarak belirlenmiştir. Aynı zamanda, zirve ile dağın tabanı arasındaki mesafe 12 km’dir. Astronomun zirveye olan açısını ve tabanla arasındaki uzaklığı kullanarak dağın yüksekliğini Sinüs Teoremi ile hesaplayın.

A) 8.5 km
B) 10 km
C) 7 km
D) 6.5 km
E) 9 km

Çözüm: Bu problemde Sinüs Teoremi ile yükseklik (dağın zirvesi) hesaplanabilir. Dağın yüksekliği, üçgenin dik açısı ile ilgili olduğundan, Sinüs Teoremi kullanılarak çözülebilir.

Verilenler:

• Astronom ile zirve arasındaki mesafe a = 15 km.
• Zirve ile dağın tabanı arasındaki mesafe b = 12 km.
• Astronomun zirveye olan açısı A = 35°.

Bu problemde Sinüs Teoremi yerine yükseklik bulmak için dik üçgen ilişkilerini kullanmak daha doğrudur. Çünkü açıyı ve hipotenüsü biliyoruz, karşı kenarı (yüksekliği) bulmak için sinüs fonksiyonunu kullanabiliriz.

Dağın yüksekliğini h olarak adlandıralım. Astronomun zirveye olan uzaklığı (15 km) ve açıyı (35°) kullanarak yükseklik formülü şu şekilde olur:

h = a * sin(A)

Yerine koyarak hesaplayalım:

h = 15 * sin(35°) h = 15 * 0.5736 ≈ 8.6 km

Bu durumda dağın yüksekliği yaklaşık olarak 8.5 km bulunur.

Doğru cevap: A