Dik Prizma ve Dik Piramit konu anlatımı çözümlü soruları Katı Cisimler 10. Sınıf özet

1. PRİZMALAR

Birbirine paralel P ve Q düzlemleri içerisinde alınan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen içi dolu cisme prizma denir.

Şekildeki KLMK’L’M’ bir üçgen prizmadır. Tabanları üçgen olduğu için üçgen prizma olarak adlandırılır. Alt ve üst tabanlarının şekline göre prizmalar adlandırılır. Örneğin dikdörtgen prizma, kare prizma, düzgün altıgen prizma gibi.

Yukarıdaki şekilde
[K’L’], [K’M’], [L’M’] taban ayrıtlarıdır.
[KK’], [LL’], [MM’] ise prizmanın yanal ayrıtlarıdır.

K’L’M’ üçgeni prizmanın alt tabanı, KLM üçgeni prizmanın üst tabanı, KLL’K’, KMM’K’, LMM’L’ dörtgensel bölgeleri de prizmanın yanal alanıdır. Eğer bir prizmada yanal ayrıtlar taban düzlemine dik iniyorsa bu prizmaya dik prizma denir. Dik olmayan prizmalara ise eğik prizma denir. Alt ve üst taban düzlemleri arasındaki uzaklığa prizmanın yüksekliği denir.

Dik Prizmalar

Yukarıdaki şekilde [AA’], [BB’] ve [CC’] yanal ayrıtları alt ve üst tabanlara diktir. Bu yüzden bu prizma bir üçgen dik prizmadır. Alt ve üst tabanlar özdeş olduğu için alanları eşittir. Yanal yüzler dikdörtgendir. Yanal alan kısaca şöyle bulunur.

Y.A. = Taban çevresi x Cisim Yüksekliği
Y.A = Ç(A’B’C’) x h
Prizmanın alanı ise tüm yüzeylerinin alanları toplamıdır.

Dik Prizmanın hacmi ise Taban Alanı x Yükseklik bağıntısı ile bulunur.
V = Taban Alanı x Yükseklik

Şimdi dik prizma çeşitlerini tanıyalım.

Küp

Tüm ayrıtları eşit uzunlukta olan dikdörtgen prizmalara küp denir.
6 tane yüzey vardır ve yüzeylerin tamamı karedir.
Her biri eşit uzunlukta 12 tane ayrıtı vardır.
Küp içerisinde birbirine en uzak iki köşe arasındaki doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Yukarıda çizilen küpün cisim köşegenleri [AC’], [BD’], [CA’] ve [DB’] dür. Cisim köşegenleri eşit uzunluktadır.

Bir ayrıtı a cm olan yukarıdaki küpte,
1) Cisim köşegeni uzunluğu |AC’| = a√3 cm
2) Küpün alanı A = 6a²
3) Küpün hacmi v = a³‘tür.

Küpün yüzeylerinin açımış hâli ise aşağıdaki gibidir.

Çözümlü Sorular

Dikdörtgenler Prizması

Çözümlü Sorular

Dikkat: Tüm prizmaların alan ve hacminde aynı kurallar geçerlidir.
Yanal Alan = Taban Çevresi x Yükseklik
Alanı = Yanal Alan + 2 x Taban Alanı
Hacmi = TabanAlanı x Yükseklik

Çözümlü Sorular

2. PİRAMİT

Bir düzlem üzerinde bulunan çokgensel bölgenin tüm noktalarının, bu düzlemin dışında bulunan bir noktayla birleştirilmesi sonucu oluşan cisme piramit denir. Buradaki (K, ABCDEF) bir altıgen piramittir. K noktası piramitin tepe noktası olup K noktasının taban düzlemine uzaklığı olan [KH]’na piramidin yüksekliği denir. [KA], [KB], [KC], [KD], [KE] ve [KF] piramitin yanal ayrıtlarıdır.

$P i r a m i t i n A l a n ı = T a b a n A l a n ı + Y a n a l A l a n P i r a m i t i n H a c m i = \frac{1}{3} T a b a n A l a n ı x Y ü k s e k l i k$

Düzgün Piramit

Tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği bu düzgün çokgenin ağırlık merkezine inen piramitlere düzgün piramit denir.

Düzgün piramitlerin yanal ayrıtları eşit uzunlukta olduğu için tüm yanal yüzleri ikizkenar üçgendir.

Çözümlü Sorular

Düzgün Dörtyüzlü

Kesik Piramit ve Piramit Benzerliği

Bir piramiti tabana paralel olan bir düzlemle keselim. Taban ile düzlem arasında kalan cisme kesik piramit denir.
Şekildeki (T, A’B’C’) piramitinin yüksekliği h₁, (T, ABC) piramitinin yüksekliği h₁ + h₂ olsun. Bu durumda (A’B’C’, ABC) kesik piramitinin yüksekliği h₂ olur.

Düzgün Olmayan Piramitlerin Hacmi

Düzgün olmayan bir piramitin cisim yüksekliği genellikle tabanın ağırlık merkezine inmez. Hacim kuralları aynen geçerlidir. Yanal yüzler farklı alan değerlerine sahip olacağı için genellikle alan sorulmaz. Ancak sorulursa da yan yüz alanlarının tek tek hesaplanması gerekir.