Kartezyen Çarpım konu anlatımı özellikleri soruları örnekleri 9. sınıf İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

Öncelikle bu konuda sıralı ikili kavramının bilinmesi gerekmektedir. Kısaca hatırlatırsak (a, b) ifadesine sıralı ikili demiştik. a birinci bileşen ve b ikinci bileşendir. (a, b) = (c, d) ise a = c ve b = c dir.
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün ikililerin kümesine Aile B'nin kartezyen çarpımı denir ve A x B şeklinde gösterilir. A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B}
Kartezyen çarpımın elemanları liste yöntemi, şema yöntemi ve grafik yöntemi ile gösterilir.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, s(A xB ) = s(A) x s(B) bağıntısı ile bulunur.
Kartezyen çarpımının özellikleri:
Kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır, değişme özelliği yoktur. Kartezyen çarpımın kesişim, birleşim ve fark işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
A x A = A2
A x B ≠ B x A
AxBxC = (A x B) x C = A x (B x C)
s(A x B) = s(A) . s(B)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

Örnek: Koordinat düzleminde A x A kartezyen çarpım kümesinin grafiği verilmiştir. Buna göre A x A kümesinde
a) Bileşenleri eşit olan kaç eleman vardır.
b) Birinci bileşeni ikinci bileşeninden büyük olan kaç eleman vardır?
Çözüm:
a) Grafiğe göre, A = {1, 2, 3, 4} olur. A x A kümesinde bileşenleri eşit olan elemanlar (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) olduğundan 4 tanedir.
b) Grafiğe göre birinci bileşeni ikinci bileşenden büyük olan elemanlar (2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (4, 3) olduğundan 6 tanedir.

Örnek: A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri veriliyor. Buna göre B x A kümesinin alt kümesinin kaç tanesinde (a, 1) elemanı bulunur?
Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 2 olduğundan s(A x B) = 3 . 2 = 6 dır. B x A nın (a, 1) elemanı dışından 5 elemanı vardır. Bu elemanların oluşturduğu 2 üzeri 5 tane alt kümenin her birine (a, 1) eklenerek (a, 1) elemanının bulunduğu 2 üzeri 5 = 32 tane alt küme elde edilir.