x² + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulmaya çalışalım.
x² + 1 = 0 ise x² = -1 olacağından bu denklemi sağlayan bir gerçek sayı değerinin olmadığını görürüz. O halde bu denklemin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesi Ø dir. Bu denklemin çözüm kümesini bulabilmek için karmaşık sayılar isimli yeni bir küme tanımlanmıştır. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir ve reel sayılar kümesini kapsar.

Bilgi: a ve b gerçek sayılar, i sanal birim olmak üzere, a + b.i şeklindeki sayılara karmaşık sayı denir ve genellikle z ve w harfleriyle gösterilir.

z = a + b.i yazılışına z karmaşık sayısının “standart biçimi“, a sayısına z nin reel kısmı, b sayısına da z nin imajiner (sanal) kısmı denir ve
a = Re(z), b = Im(z) şeklinde gösterilir.

C={z: z = a+b.i, a ∈ R, b ∈ R, i sanal birim} kümesine karmaşık sayılar kümesi denir.

Not: Gerçek katsayılı bir ikinci derece denklemin kökleri karmaşık sayı ise bu kökler birbirinin eşleniğidir.

i nin Kuvvetleri

i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 olduğundan i nin bir tam sayı kuvveti hesaplanırken üs yerine üssün 4 ile bölümünden kalan yazılarak sonuca gidilir.

i²² = i² = -1, i⁴³ = i³ = -i

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma işlemi

Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken reel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.

Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi yapılırken birinci sayının tüm terimleri ile ikinci sayının tüm terimleri sırayla çarpılır.

Karmaşık sayılarda Bölme İşlemi

Karmaşık sayılarda bölme işlemi yapılırken pay ve payda, paydadaki karmaşık sayının eşleniği ile genişletilir.