İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,

ax² + bx + c = 0

şeklindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

• Denklemi sağlayan x gerçek (reel) sayılarına denklemin kökleri denir.
• Köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi (doğruluk kümesi) denir.
• Kökler denklemi sağlar.

Çözümlü Sorular

Çarpanlara Ayırma Yöntemi İle Kök Bulma

Çözümlü Sorular

Δ (Delta) ile Kök Bulma

Çözümlü Sorular

Karmaşık Sayılar

Karmaşık Sayı Tanımı

• ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel (gerçek) kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz.
  Örneğin x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur.
  Çünkü x² + 1 = 0 ise x² = -1 dir. Karesi -1 olan reel sayı yoktur.
• Şimdi bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.
  a ve b reel sayı, i² = -1 olmak üzere
  z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
  C = {z: z = a+bi; a,b ∈ R ve i² =-1} dir.
• z = a + bi şeklindeki yazılışına z karmaşık sayısının standart biçimi denir.
• z = a + bi karmaşık sayısında a ya reel kısım, b ye imajiner (sanal) kısım denir ve Re(z) = a, im(z) = b şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki sayıları inceleyiniz.
z = 2 + 5i ise Re(z) = 2, im(z) = 3
z = 4i – 5 ise Re(z) = -5, im(z) = 4
z = 6i ise Re(z) = 0, im(z) = 6
z = 7 ise Re(z) = 7, im(z) = 0 dir.

Çözümlü Sorular

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Çözümlü Sorular

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

Çözümlü Sorular

Kökleri Karmaşık Olan Denklemler

Not: Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri a + b.i ise diğer kök bunun eşleniği olan a – b.i dir.

Çözümlü Sorular

Karmaşık Sayılarda i nin Kuvvetleri (Fen Liseleri)

Çözümlü Sorular

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem (Fen Liseleri)

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Çarpma İşlemi

Bölme İşlemi

Çözümlü Sorular

Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişki

Simetrik Kök: ax² + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa b = 0 dır.
Simetrik kökler toplama işlemine göre birbirinin tersidir. (x₁ = -x₂)

Çözümlü Sorular

Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin Yazılması

Çözümlü Sorular

İkinci Dereceden Denklemler – 10. Sınıf Konu Anlatımı ve Çözümlü Sorular

Konu Anlatımı

İkinci dereceden denklemler, en genel haliyle şu şekilde yazılır:

ax² + bx + c = 0

Bu tür denklemleri çözmek için birkaç farklı yöntem kullanılabilir. En sık kullanılan yöntemler:

1. Faktöriyel Ayırma Yöntemi:
   Denklemi çarpanlarına ayırarak çözüm bulunur. Eğer denklemin çarpanlara ayrılabilen bir yapısı varsa, bu yöntem kullanılır.
2. Delta (Diskriminant) Yöntemi:
   Diskriminant (Δ) formülü kullanılarak kökler bulunur. Diskriminant formülü:
   Δ = b² – 4ac

• Eğer Δ > 0 ise denklemin iki farklı reel kökü vardır.
• Eğer Δ = 0 ise denklemin iki eşit reel kökü vardır.
• Eğer Δ < 0 ise denklemin reel kökü yoktur, karmaşık kökler vardır.

Kökler formülü:
x₁, x₂ = (-b ± √Δ) / 2a

Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1:
x² – 5x + 6 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

A) 2 ve 3
B) -2 ve -3
C) 1 ve 6
D) -1 ve -6
E) 0 ve 5

Çözüm:
Verilen denklemi çarpanlarına ayıralım:
x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0
Buradan x = 2 ve x = 3 kökleri bulunur.

Cevap: A

Soru 2:
x² + 4x + 4 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

A) 2 ve 2
B) -2 ve -2
C) 1 ve 4
D) -1 ve 4
E) 0 ve -4

Çözüm:
Denklemi çarpanlarına ayıralım:
x² + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = 0
Buradan x = -2 ve x = -2 yani çift kök bulunur.

Cevap: B

Soru 3:
2x² – 3x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. (Delta yöntemi kullanarak)

A) 1 ve 2
B) 1 ve 3
C) 1/2 ve 1
D) -1 ve 1
E) -1/2 ve -1

Çözüm:
Denklemin katsayıları:
a = 2, b = -3, c = 1

Diskriminantı hesaplayalım:
Δ = b² – 4ac
Δ = (-3)² – 4(2)(1)
Δ = 9 – 8 = 1

Kökler formülü:
x₁, x₂ = (-b ± √Δ) / 2a
x₁, x₂ = (3 ± 1) / 4
x₁ = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
x₂ = (3 – 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Cevap: C

Soru 4:
x² – 6x + 9 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

A) 3 ve 3
B) -3 ve -3
C) 0 ve 3
D) -3 ve 0
E) 1 ve 3

Çözüm:
Denklemi çarpanlarına ayıralım:
x² – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3) = 0
Buradan x = 3 ve x = 3 yani çift kök bulunur.

Cevap: A

Soru 5:
x² – 2x – 8 = 0 denkleminin köklerini bulunuz.

A) 4 ve -2
B) 2 ve -4
C) -2 ve 3
D) 3 ve -2
E) 0 ve 4

Çözüm:
Verilen denklemi çarpanlarına ayıralım:
x² – 2x – 8 = (x – 4)(x + 2) = 0
Buradan x = 4 ve x = -2 kökleri bulunur.

Cevap: A

2. Dereceden Denklemler 1 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 2 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 3 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 4 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 5 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler 6 Rehber Matematik

2. Dereceden Denklemler Soru Çözümü Rehber Matematik