9. Sınıf İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması İçin Gerekli Olan Asgari Koşullar Test Çöz, Çöz

Soru 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninin benzer olduğunu biliyoruz. ABC üçgeninde AB = 6 cm, AC = 8 cm ve BC = 10 cm, DEF üçgeninde ise DE = 9 cm ve DF = 12 cm'dir.
a) Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun.
b) EF kenarının uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm:
a) İki üçgenin benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarları orantılı hale getiririz. AB ve DE, AC ve DF kenarları birbirine karşılık gelir. Benzerlik oranı:

AB / DE = 6 / 9 = 2 / 3
AC / DF = 8 / 12 = 2 / 3

Bu oranlar aynı olduğuna göre benzerlik oranı 2 / 3'tür.

b) Şimdi BC ve EF kenarlarını orantılayarak EF'yi bulalım:

BC / EF = 10 / x
Benzerlik oranı = 2 / 3 olduğuna göre:

2 / 3 = 10 / x
x = 10 x 3 / 2 = 15 cm

Bu durumda, EF kenarının uzunluğu 15 cm'dir.

Soru 2:
İki üçgenin eş olabilmesi için bazı koşullar vardır. Bir üçgenin açıları sırasıyla 60°, 60° ve 60°'dir. İkinci üçgenin de açıları aynı olduğuna göre bu üçgenlerin eş olduğunu söyleyebilir miyiz? Neden?

Çözüm:
Açıların aynı olması, üçgenlerin benzer olduğunu gösterir, ancak kenar uzunlukları farklı olabilir. Eş üçgenler için hem açıların hem de kenarların birebir aynı olması gerekir. Dolayısıyla sadece açıların aynı olması, bu iki üçgenin eş olduğunu kanıtlamaz. Eş olabilmesi için kenar uzunluklarının da aynı olması gerekir.

Bu durumda, üçgenler sadece benzer üçgenlerdir, eş değildir.

Soru 3:
Bir üçgende iki kenarın uzunlukları 7 cm ve 9 cm, aralarındaki açı ise 50°'dir. Başka bir üçgende iki kenar uzunluğu 14 cm ve 18 cm, aralarındaki açı da 50°'dir.
a) Bu iki üçgenin eş ya da benzer olup olmadığını açıklayın.
b) Eğer benzerlerse benzerlik oranını belirtin.

Çözüm:
a) İki kenarın uzunlukları ve bu iki kenar arasındaki açı eşitse, bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Verilen iki üçgende kenar uzunlukları farklı, ancak aralarındaki açı aynı olduğundan, bu üçgenler eş değildir. Ancak kenarların orantılı olması ve açıların aynı olması nedeniyle benzerler.

b) Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır:

Benzerlik oranı = 14 / 7 = 18 / 9 = 2

Bu durumda, benzerlik oranı 2'dir.

Soru 4:
Bir ABC üçgeninde A açısı 45°, B açısı 90° ve C açısı 45°'dir. DEF üçgeninde ise D açısı 45°, E açısı 90° ve F açısı 45°'dir.
a) Bu iki üçgenin eş mi yoksa benzer mi olduğunu belirleyin.
b) Eğer eş değillerse benzerlik oranını hesaplayın.

Çözüm:
a) Üçgenlerin açıları tamamen aynı olduğundan, bu üçgenler en azından benzer üçgenlerdir. Ancak eş üçgen olmaları için kenar uzunluklarının da birebir aynı olması gerekir. Eğer kenar uzunlukları farklıysa, bu üçgenler eş değil, sadece benzerdir.

b) Benzerlik oranını belirlemek için kenar uzunlukları verilmelidir. Eğer kenar uzunlukları orantılıysa, benzerlik oranı bu kenar uzunlukları üzerinden hesaplanabilir. Ancak verilen bilgilere göre sadece açıların aynı olduğu bilindiğinden, kesin bir oran belirtilemez.

Soru 5:
Bir ikizkenar üçgenin iki kenarı 8 cm ve tabanı 6 cm'dir. Başka bir ikizkenar üçgenin iki kenarı 12 cm ve tabanı 9 cm'dir.
a) Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını açıklayın.
b) Benzerlerse benzerlik oranını hesaplayın.

Çözüm:
a) İki ikizkenar üçgende karşılıklı kenarların orantılı olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir. İki kenar ve taban arasındaki orantıyı bulalım:

Birinci üçgen: 8 cm / 12 cm = 2 / 3
Tabanlar: 6 cm / 9 cm = 2 / 3

Her iki kenarın ve tabanın oranı aynı olduğuna göre, bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

b) Benzerlik oranı = 2 / 3'tür.