Polinomların Eşitliği Kuralı:

İki polinomun eşit olabilmesi için aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.

Verilen polinomlar:
P(x) = axⁿ + bxⁿ⁻¹ + … + c
Q(x) = dxⁿ + exⁿ⁻¹ + … + f

P(x) = Q(x) ise:
a = d (xⁿ’li terimlerin katsayıları eşit)
b = e (xⁿ⁻¹’li terimlerin katsayıları eşit)
…
c = f (sabit terimler eşit)

Örnek:
P(x) = 3x² + 5x – 2
Q(x) = mx² + nx + k

Bu polinomlar eşitse:
3 = m (x² katsayıları)
5 = n (x katsayıları)
-2 = k (sabit terimler)

İki Polinomun Eşitliği Soruları ve Çözümleri

Çözümlü Test Soruları

Soru 1:

P(x) = (a+2)x³ + (b-1)x² + 5x + c
Q(x) = 4x³ + 3x² + 5x + 7

P(x) = Q(x) ise a + b + c kaçtır?

Çözüm:
Polinomlar eşitse katsayılar eşitlenir:

1. a + 2 = 4 ⇒ a = 2
2. b – 1 = 3 ⇒ b = 4
3. c = 7

a + b + c = 2 + 4 + 7 = 13

---

Soru 2:

P(x) = (m-3)x⁴ + nx² + 2x – 5
Q(x) = 2x⁴ + (k+1)x² + 2x – 5

P(x) = Q(x) ise m + n – k kaçtır?

Çözüm:
Katsayı eşitleme:

1. m – 3 = 2 ⇒ m = 5
2. n = k + 1
3. x²’li terim Q(x)’te olduğu için P(x)’te katsayı 0 kabul edilir: n = 0
   ⇒ 0 = k + 1 ⇒ k = -1

m + n – k = 5 + 0 – (-1) = 6

---

Soru 3:

P(x+1) = x² + (a+2)x + 3
Q(x-1) = (b-1)x² + 4x + c

P(x) = Q(x) ise a + b + c kaçtır?

Çözüm:
Önce P(x) ve Q(x)’i standart forma çevirelim:

• P(x+1)’den P(x)’i bulmak için x yerine x-1 yazılır:
  P(x) = (x-1)² + (a+2)(x-1) + 3 = x² + (a)x + (-a)
• Q(x-1)’den Q(x)’i bulmak için x yerine x+1 yazılır:
  Q(x) = (b-1)(x+1)² + 4(x+1) + c = (b-1)x² + (2b+2)x + (b+3+c)

Katsayı eşitleme:

1. x²: 1 = b – 1 ⇒ b = 2
2. x: a = 2b + 2 ⇒ a = 6
3. Sabit: -a = b + 3 + c ⇒ -6 = 2 + 3 + c ⇒ c = -11

a + b + c = 6 + 2 – 11 = -3

---

Soru 4:

P(x) = ax² + bx + c polinomu için P(1) = 4, P(2) = 9, P(3) = 16 ise a + b + c kaçtır?

Çözüm:
Verilenleri polinomda yazalım:

1. P(1) = a(1) + b(1) + c = a + b + c = 4
2. P(2) = 4a + 2b + c = 9
3. P(3) = 9a + 3b + c = 16

Denklemleri çözelim:

• (2) – (1): 3a + b = 5
• (3) – (2): 5a + b = 7
• İkisi çıkarılırsa: 2a = 2 ⇒ a = 1
• b = 2, c = 1

a + b + c = 1 + 2 + 1 = 4

---

Soru 5:

P(x) + P(x+1) = 8x + 4 ise P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Çözüm:
P(x) birinci dereceden polinom olsun: P(x) = ax + b
P(x+1) = a(x+1) + b = ax + a + b

Toplam:
P(x) + P(x+1) = 2ax + (a + 2b) = 8x + 4

Katsayı eşitleme:

1. 2a = 8 ⇒ a = 4
2. a + 2b = 4 ⇒ 4 + 2b = 4 ⇒ b = 0

P(x) = 4x ⇒ Sabit terim = 0

---

📌 Özet:
Polinom eşitliği sorularında:

1. Dereceler kontrol edilir.
2. Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşitlenir.
3. Sabit terimler unutulmaz!

---

Aynı dereceli iki polinomun, eşit dereceli terimlerinin katsayıları eşit ise bu iki polinoma eşit polinomlar denir. P(x) ve Q(x) aynı dereceden iki polinom olsun. P(x) ve Q(x) polinomlarında eşit dereceli terimlerin katsayıları karşılıklı olarak birbirine eşit ise bu iki polinom birbirine eşittir.

Örnek P(x) = 4×5 + 3×2 – 3
Q(x) = (m-2)x+ (n +2)x5+(p-1)x2+ k+2
P(x) = Q(x) olduğuna göre, m + n + p + k toplamını bulunuz.
Çözüm: Dereceler eşit olmalı, bu yüzden Q(x) polinomunda x6 lı terim olmamalıdır.
m-2=0 ise m=2 dir.
n+2=4 ise n=2 dir.
p-1=3 ise p=4 tür.
k+2=-3 ise =-5 tir.
m+n+p+k=2+2+4-5=3 olur.

Örnek: P(x)=(a-3)x4+(b+4)x2+a-b polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(x) polinomunu bulunuz. Sabit polinomda, değişken bulunmayacağından değişkenli terimlerin katsayıları 0 olmalıdır.
Çözüm: a-3=0, a=3 ve b+4=0 ise b=-4
Bu durumda P(x)=3-(-4)=-12 olur.

Örnek: P(x)=(a-2)x4-(b-3)x3+(c-1)x+d+4
polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
Çözüm: Tüm terimlerin katsayıları 0 olmalıdır. Buna göre,
a-2=0 ise a=2 dir.
b-3=0 ise b=3 tür.
c-1=0 ise c=1 dir.
d+4=0 ise d=-4 tür.
a+b+c+d=2+3+1+(-4)=2 0lur.