Mutlak değer fonksiyonları, bir sayının sayı doğrusundaki başlangıç noktasına olan uzaklığını ifade eder. Matematiksel olarak mutlak değer, bir sayının pozitif veya negatif olmasına bakılmaksızın, pozitif bir değer olarak sonuçlanır. Mutlak değer fonksiyonları, genellikle f(x) = |x| formunda tanımlanır ve grafikleri “V” şeklinde bir görünüme sahiptir. Aşağıdaki sorular, mutlak değer fonksiyonlarının temel niteliklerini anlamanıza ve analiz etmenize yardımcı olacaktır.
Soru 1: Bir mutlak değer fonksiyonu f(x) = |x - 3| ile tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun grafiği x eksenini hangi noktalarda keser?
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonları, x eksenini kestiği noktalarda f(x) = 0 olmalıdır. Bu durumda:
|x - 3| = 0
x - 3 = 0
x = 3
Bu fonksiyonun grafiği x eksenini (3, 0) noktasında keser.
Soru 2: f(x) = |2x + 1| fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun x eksenini kestiği noktayı ve y eksenini kestiği noktayı bulun.
Çözüm: x eksenini kestiği nokta için f(x) = 0 olmalıdır:
|2x + 1| = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Bu fonksiyonun grafiği x eksenini (-1/2, 0) noktasında keser.
Y eksenini kestiği nokta için x = 0 olduğunda:
f(0) = |2(0) + 1| = |1| = 1
Bu durumda fonksiyon y eksenini (0, 1) noktasında keser.
Soru 3: Bir mutlak değer fonksiyonu f(x) = |x - 4| - 2 ile tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun minimum değerini ve bu minimum değeri aldığı x değerini bulun.
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonları her zaman pozitif veya sıfır olacağından, |x - 4| ifadesi minimum değerini x = 4 olduğunda alır. Bu durumda:
f(4) = |4 - 4| - 2 = 0 - 2 = -2
Bu fonksiyonun minimum değeri -2'dir ve bu minimum değer x = 4 noktasında gerçekleşir.
Soru 4: f(x) = |x + 5| + 3 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiği üzerinde f(x) = 6 olduğu noktadaki x değerlerini bulun.
Çözüm: f(x) = |x + 5| + 3 fonksiyonunda f(x) = 6 olduğunda:
|x + 5| + 3 = 6
|x + 5| = 3
Mutlak değer ifadesini çözelim:
x + 5 = 3 veya x + 5 = -3
x = -2 veya x = -8
Bu durumda f(x) = 6 olduğunda x değerleri -2 ve -8'dir.
Soru 5: Bir mutlak değer fonksiyonu f(x) = |2x - 1| + 4 ile tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun minimum değerini ve bu minimum değeri aldığı x değerini bulun.
Çözüm: |2x - 1| ifadesi her zaman pozitif veya sıfırdır, bu yüzden minimum değeri sıfır olduğunda gerçekleşir. |2x - 1| = 0 olduğunda:
2x - 1 = 0
x = 1/2
Bu durumda:
f(1/2) = |2(1/2) - 1| + 4 = 0 + 4 = 4
Bu fonksiyonun minimum değeri 4'tür ve bu minimum değer x = 1/2 noktasında gerçekleşir.
Soru 6: Bir mutlak değer fonksiyonu f(x) = -|x - 2| + 5 olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun maksimum değerini ve bu maksimum değeri aldığı x değerini bulun.
Çözüm: -|x - 2| ifadesi, mutlak değerin negatif olduğu bir fonksiyondur, yani bu ifade her zaman sıfır veya negatif bir değer alır. |x - 2| = 0 olduğunda fonksiyon maksimum değerini alır:
x - 2 = 0
x = 2
Bu durumda:
f(2) = -|2 - 2| + 5 = -0 + 5 = 5
Bu fonksiyonun maksimum değeri 5'tir ve bu maksimum değer x = 2 noktasında gerçekleşir.
Soru 7: f(x) = |x - 1| + |x + 2| fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulun.
Çözüm: Mutlak değer fonksiyonu x eksenini kestiği noktalarda f(x) = 0 olmalıdır:
|x - 1| + |x + 2| = 0
İki mutlak değerin toplamı sıfır olamayacağı için bu fonksiyonun grafiği x eksenini kesmez. Yani bu fonksiyonun x eksenini kestiği bir nokta yoktur.
