9. Sınıf Geometrik Dönüşümler Test Çöz, Çözümlü Sorular

Soru 1:
Bir ABC üçgeni, başlangıçta A(1, 2), B(4, 2) ve C(3, 5) noktaları ile tanımlanıyor. Bu üçgen, x eksenine göre yansıtılıyor.
a) Yansıma sonucunda oluşan üçgenin A', B' ve C' noktalarını bulun.
b) Yansıma sonrasında oluşan yeni üçgenin alanını hesaplayın.

Çözüm:
a) x eksenine göre yansıma yapıldığında, y koordinatları işaret değiştirir, x koordinatları ise sabit kalır. Bu durumda yeni noktalar şu şekilde olur:

A(1, 2) → A'(1, -2)
B(4, 2) → B'(4, -2)
C(3, 5) → C'(3, -5)

b) Üçgenin alanını bulmak için, üçgenin alan formülü olan determinant yöntemi kullanılabilir. Koordinatları kullanarak şu şekilde hesaplayalım:

Alan = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

A'(1, -2), B'(4, -2) ve C'(3, -5) noktaları için:

Alan = 1/2 * |1(-2 + 5) + 4(-5 + 2) + 3(-2 + 2)|
Alan = 1/2 * |1(3) + 4(-3) + 3(0)|
Alan = 1/2 * |3 - 12 + 0|
Alan = 1/2 * | -9 |
Alan = 9 / 2 = 4.5 birim kare

Bu durumda, yansıma sonrasında üçgenin alanı 4.5 birim karedir.

Soru 2:
Bir kare, (2, 3), (6, 3), (6, 7) ve (2, 7) köşelerine sahip olup orijine göre 90 derece saat yönünde döndürülüyor.
a) Bu dönüşüm sonrasında yeni kare köşelerini bulun.
b) Dönüşüm sonrasında karenin alanında bir değişiklik olup olmadığını belirtin.

Çözüm:
a) Orijine göre 90 derece saat yönünde döndürme işlemi şu şekilde yapılır: (x, y) → (y, -x). Kare köşeleri bu kurala göre dönüştürülür:

(2, 3) → (3, -2)
(6, 3) → (3, -6)
(6, 7) → (7, -6)
(2, 7) → (7, -2)

Yeni kare köşeleri: (3, -2), (3, -6), (7, -6) ve (7, -2)

b) Dönüşüm sonrasında karenin alanı değişmez çünkü döndürme işlemi, şeklin boyutlarını değiştirmez. Karenin alanı başlangıçta 16 birim kareydi ve dönüşüm sonrasında da aynı kalır.

Soru 3:
Bir dikdörtgen, A(1, 2), B(5, 2), C(5, 6) ve D(1, 6) köşelerine sahiptir. Bu dikdörtgen, vektör v(3, 2) kadar öteleniyor.
a) Dikdörtgenin yeni köşe noktalarını bulun.
b) Bu öteleme sonucunda dikdörtgenin alanı nasıl değişir?

Çözüm:
a) Bir şekil bir vektör kadar ötelenirken, her köşenin koordinatlarına vektörün bileşenleri eklenir. Vektör v(3, 2) olduğuna göre her bir noktaya (3, 2) ekleyelim:

A(1, 2) → A'(1 + 3, 2 + 2) = A'(4, 4)
B(5, 2) → B'(5 + 3, 2 + 2) = B'(8, 4)
C(5, 6) → C'(5 + 3, 6 + 2) = C'(8, 8)
D(1, 6) → D'(1 + 3, 6 + 2) = D'(4, 8)

Yeni dikdörtgenin köşe noktaları: A'(4, 4), B'(8, 4), C'(8, 8), D'(4, 8)

b) Öteleme sonucunda dikdörtgenin alanı değişmez, çünkü öteleme sadece şekli kaydırır ve boyutlarını etkilemez. Dikdörtgenin alanı başlangıçta ne ise, ötelemeden sonra da aynı kalır. Bu dikdörtgenin alanı:

Alan = uzun kenar x kısa kenar = (5 - 1) x (6 - 2) = 4 x 4 = 16 birim kare

Soru 4:
Bir üçgen, A(0, 0), B(4, 0) ve C(2, 3) noktaları ile tanımlanmıştır. Üçgen, orijine göre simetri eksenine göre yansıtılıyor.
a) Yansıma sonucunda yeni üçgenin A', B' ve C' köşe noktalarını bulun.
b) Yansıma sonrasında üçgenin alanı değişir mi?

Çözüm:
a) Orijine göre yansıma yapıldığında, her bir noktanın koordinatları (-x, -y) haline gelir. Yani her noktanın hem x hem de y koordinatları işaret değiştirir. Bu durumda yeni noktalar:

A(0, 0) → A'(0, 0)
B(4, 0) → B'(-4, 0)
C(2, 3) → C'(-2, -3)

Yeni üçgenin köşe noktaları: A'(0, 0), B'(-4, 0), C'(-2, -3)

b) Yansıma, bir şeklin boyutlarını değiştirmez. Dolayısıyla üçgenin alanı aynı kalır. İlk durumda üçgenin alanı:

Alan = 1/2 x | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) |
A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3) için:

Alan = 1/2 x | 0(0 - 3) + 4(3 - 0) + 2(0 - 0) |
Alan = 1/2 x | 0 + 12 + 0 | = 1/2 x 12 = 6 birim kare

Bu durumda yansıma sonrasında da üçgenin alanı değişmez ve 6 birim kare olur.

Soru 5:
Bir eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 5 cm'dir. Bu üçgen, tüm kenarları iki kat büyütülerek benzer bir üçgen oluşturuluyor.
a) Yeni oluşan üçgenin kenar uzunluğunu ve çevresini bulun.
b) Yeni üçgenin alanının başlangıçtaki üçgenin alanına oranını hesaplayın.

Çözüm:
a) Eşkenar üçgenin kenarları iki kat büyütüldüğüne göre yeni kenar uzunluğu:

Yeni kenar = 5 cm x 2 = 10 cm

Eşkenar üçgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Bu durumda:

Çevre = 10 cm x 3 = 30 cm

b) Benzer üçgenlerin alanlarının oranı, kenar uzunluklarının karesi oranında değişir. Oran şu şekildedir:

Oran = (Yeni kenar / Eski kenar)² = (10 / 5)² = 2² = 4

Bu durumda, yeni üçgenin alanı eski üçgenin alanının 4 katı olacaktır.