Bu yazımızda 10. sınıf Matematik Sayma ve Olasılık Ünitesinde yer alan faktöriyel konusu ile ilgili çözümlü sorular yer almaktadır. Çözümlü soruları kontrol ettikten sonra aşağıdaki konularımıza da göz gezdirebilirsiniz.

• Sayma ve Olasılık Testleri
• Faktöriyel Ders Notu

Faktöriyel Soruları ve Çözümleri

Çözümlü Sorular

Soru: n bir doğal sayı olmak üzer, n!, (n + 1)!, (n + 3)!, (n! + 1), (n! + 4) sayılarından kaç tanesi daima çift sayıdır?
Çözüm: n = 1 seçilirse n! = 1! = 1 tek sayıdır. n = 0 seçilirse (n + 1)! = (0 + 1)! = 1 tek sayıdır. (n + 3)! daima çifttir. Açılımında mutlaka 2 çarpanı bulunur. n = 2 seçilirse n! + 1 = 2! + 1 = 3 tek sayıdır. n = 0 seçilirse n! + 4 = 0! + 4 = 5 tek sayıdır. O halde sadece (n + 3)! daima çift sayıdır.

Soru: 59 faktöriyel – 1 sayısının sondan kaç basamağı dokuzdur?
Çözüm: 59 faktöriyel sayısının sonundaki sıfır sayısı ile 59 faktöriyel – 1 sayısının sondan dokuz basamağı aynıdır. 59 faktöriyel sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır bulmamız yeterlidir. 59 u beşe bölünmeyene kadar bölüp bölümleri toplarsak cevap 13 çıkar.

Soru: x ve y pozitif tam sayılardır. x! = 120 . y eşitliğinde y nin alabileceği en küçük farklı iki değerin toplamı kaçtır?
Çözüm: x faktöriyel = 120 . y, x faktöriyel = 5! . y eşitliğinde y = 1 seçersek x = 5 olur. y = 6 seçersek x = 6 olur. y nin değerleri = 1 + 6 = 7 olur.

Soru: 1 . 2 . 3 . 4 . … . 10 . 11 . 12 . … . 120 çarpımı ile oluşan 120 faktöriyel sayısının açılımında kaç tane rakam kullanılmıştır.
Çözüm: 1 den 9 a kadar 9 tane rakam vardır. 10 dan 99 a kadar 90 tane sayı, dolayısıyla 3 . 21 = 63 tane rakam vardır. O halde toplam 9 + 180 + 63 = 252 tane rakam vardır.

Soru: 7! / 5! işleminin sonucu nedir?
A) 35  B) 42  C) 7  D) 12
Çözüm: 7! = 7 × 6 × 5! olduğundan,
7! / 5! = (7 × 6 × 5!) / 5! = 7 × 6 = 42
Cevap: A (35)

Faktöriyel Soruları

1. 5! (5 faktöriyel) kaçtır?
a) 60
b) 100
c) 120
d) 150

Cevap: c) 120
Çözüm: 5 faktöriyel, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 olarak bulunur.

2. 7! (7 faktöriyel) ifadesi kaçtır?
a) 5040
b) 720
c) 2520
d) 40320

Cevap: a) 5040
Çözüm: 7 faktöriyel, 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.

3. 8! ÷ 6! işleminin sonucu kaçtır?
a) 56
b) 28
c) 48
d) 64

Cevap: a) 56
Çözüm:
Faktöriyel işlemi yapılırken, 8! ve 6! değerlerini yazmak yerine sadeleştirme yapılabilir:
8! ÷ 6! = (8 × 7 × 6!) ÷ 6!
6!’ler sadeleşir, sonuç 8 × 7 = 56.

4. (9! ÷ 7!) ifadesi kaçtır?
a) 72
b) 54
c) 9 × 8
d) 72 × 9

Cevap: c) 9 × 8
Çözüm:
9! ÷ 7! = (9 × 8 × 7!) ÷ 7!
7!’ler sadeleşir, sonuç 9 × 8 = 72.

5. (5! + 4!) ifadesinin sonucu kaçtır?
a) 144
b) 148
c) 168
d) 720

Cevap: b) 148
Çözüm:
Önce 5! ve 4! ayrı ayrı hesaplanır:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Toplam: 120 + 24 = 144.

Yeni Nesil Faktöriyel Problemleri

1. Bir merdivende 5 kişi yan yana sıralanacaktır. Bu kişiler kaç farklı şekilde dizilebilir?
a) 120
b) 60
c) 24
d) 720

Cevap: a) 120
Çözüm: Bu soru, 5 kişinin farklı sıralanma olasılığını soruyor. Kişilerin sıralanma sayısı 5 faktöriyel ile hesaplanır:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. Bir kutuda 6 farklı renkte kalem vardır. Bu kalemlerden 3 tanesi rastgele seçilip yan yana dizilecektir. Bu kalemler kaç farklı şekilde sıralanabilir?
a) 720
b) 60
c) 120
d) 20

Cevap: c) 120
Çözüm: 6 kalem arasından 3’ünü seçip sıralamak, permütasyon sorusudur:
P(6, 3) = 6 × 5 × 4 = 120.

3. Bir tiyatro oyununda 8 oyuncu sahneye çıkacaktır. Ancak, iki özel oyuncunun yan yana oturması gerekmektedir. Diğer 6 oyuncunun sıralanışı serbesttir. Kaç farklı oturma düzeni oluşturulabilir?
a) 5040
b) 720
c) 1440
d) 2520

Cevap: d) 2520
Çözüm:

• 2 özel oyuncu yan yana olduğu için bu iki oyuncuyu bir grup olarak düşünürüz. Bu durumda 7 grup vardır (6 kişi + 1 grup).
• 7 kişinin sıralanışı 7! ile hesaplanır: 7! = 5040
• Yan yana olan 2 oyuncunun kendi arasındaki sıralanışı 2! = 2’dir.
  Toplam sıralanma sayısı: 7! × 2! = 5040 × 2 = 2520.

4. Bir komitede 4 kadın ve 3 erkek bulunmaktadır. Komitede başkan, başkan yardımcısı ve sekreter seçilecektir. Bu görevler farklı kişilerce üstlenilecekse kaç farklı görev dağılımı yapılabilir?
a) 720
b) 168
c) 120
d) 60

Cevap: c) 120
Çözüm:

• 7 kişi içinden 3 kişi seçilecek ve sıralanacaktır.
  Bu durum permütasyon ile hesaplanır:
  P(7, 3) = 7 × 6 × 5 = 210.