9. Sınıf Eşlik ve Benzerlikle İlgili Problemler Test Çöz, Çözümlü Sorular

Soru 1:
Bir ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer olup, ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. DEF üçgeninde ise DE = 9 cm ve DF = 12 cm'dir.
a) Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun.
b) DEF üçgeninin EF kenarının uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm:
a) Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. ABC üçgeninde AB, AC ve BC kenarları sırasıyla DE, DF ve EF kenarlarına karşılık gelir. Benzerlik oranını bulalım:

Benzerlik oranı = DE / AB = 9 / 6 = 3 / 2

b) Şimdi EF kenarını hesaplayalım. BC / EF oranı şu şekilde olur:

BC / EF = 10 / x
Benzerlik oranı 3 / 2 olduğuna göre:

10 / x = 3 / 2
x = 10 x 2 / 3 = 20 / 3 ≈ 6.67 cm

Bu durumda EF kenarının uzunluğu yaklaşık 6.67 cm'dir.

Soru 2:
Bir üçgenin iç açılarından biri 45°, diğeri 90° ve üçüncüsü 45°'dir. Bu üçgene benzer başka bir üçgenin hipotenüsü 14 cm olarak verilmiştir.
a) Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun.
b) Orijinal üçgenin kenarlarından biri 7 cm ise, benzer üçgenin diğer iki kenarını hesaplayın.

Çözüm:
a) Orijinal üçgen bir 45°-45°-90° üçgenidir. Hipotenüs ile dik kenarlar arasında belirli bir oran vardır. Eğer bir üçgenin hipotenüsü 14 cm ise, benzerlik oranı hipotenüsler üzerinden bulunur. Orijinal üçgenin hipotenüsü 7√2'dir (7 x √2), dolayısıyla:

Benzerlik oranı = 14 / (7√2)
Benzerlik oranı = 2 / √2 = √2

b) Orijinal üçgende dik kenarlar 7 cm ise, benzer üçgende dik kenarlar:

Yeni dik kenar = 7√2 x √2 = 14 cm

Dolayısıyla benzer üçgenin diğer iki kenarı 14 cm olacaktır.

Soru 3:
Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu sırasıyla 6 cm ve 8 cm, aralarındaki açı 60°'dir. Başka bir üçgende ise bu kenarlara karşılık gelen kenarlar 9 cm ve 12 cm, aralarındaki açı ise 60°'dir.
a) Bu iki üçgenin benzer mi yoksa eş mi olduğunu belirleyin.
b) Eğer benzerlerse, benzerlik oranını hesaplayın.

Çözüm:
a) Üçgenlerin iki kenarı ve bu kenarların arasındaki açı eşitse, bu üçgenler ya eş ya da benzer üçgenlerdir. Ancak verilen kenar uzunlukları farklı olduğundan, bu üçgenler eş değil, sadece benzer üçgenlerdir.

b) Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların uzunluklarının oranıdır:

Benzerlik oranı = 9 / 6 = 12 / 8 = 3 / 2

Bu durumda benzerlik oranı 3 / 2'dir.

Soru 4:
Bir ikizkenar üçgende iki eşit kenarın uzunluğu 5 cm ve taban uzunluğu 6 cm'dir. Başka bir ikizkenar üçgende ise iki eşit kenarın uzunluğu 10 cm ve taban uzunluğu 12 cm'dir.
a) Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyin.
b) Benzerlik oranını hesaplayın.

Çözüm:
a) İki ikizkenar üçgenin eşit kenarları ve taban uzunlukları aynı oranda büyütülmüş veya küçültülmüşse, bu üçgenler benzer olur. İlk üçgenin kenarları 5 cm ve 6 cm, diğerinin ise 10 cm ve 12 cm olduğuna göre, kenar uzunlukları arasında aynı oranın korunup korunmadığını kontrol edelim:

5 / 10 = 6 / 12 = 1 / 2

Kenarlar aynı oranda olduğu için bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

b) Benzerlik oranı 1 / 2'dir.

Soru 5:
Bir ABC üçgeninde A açısı 50°, B açısı 70° ve C açısı 60°'dir. Başka bir DEF üçgeninde ise D açısı 50°, E açısı 70° ve F açısı 60°'dir.
a) Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyin.
b) Eğer benzerlerse, benzerlik oranını hesaplayın.

Çözüm:
a) Üçgenlerin açıları aynı olduğunda, bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Verilen açıların tümü aynı olduğuna göre, bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.

b) Benzerlik oranı kenar uzunluklarına bağlıdır. Ancak bu soruda kenar uzunlukları verilmediği için, açıların aynı olması nedeniyle sadece benzer olduklarını söyleyebiliriz.