Çemberin Analitik İncelenmesi konu anlatımı soruları çözümleri 12. Sınıf Çember Denklemleri ayt

ÇEMBERİN STANDART DENKLEMİ: Koordinat düzleminde M(a, b) merkezli ve r yarıçaplı çember üzerinde bir P(x, y) noktası alalım. Bu ifadeye, M(a, b) merkezli ve r yarıçaplı çemberin standart denklemi denir.

Merkezil Çember: Merkezi başlangıç noktası olan çembere merkezil çember denir.

BİR DOĞRU İLE BİR ÇEMBERİN DURUMU: Bir doğru ile bir çemberin birbirine göre durumları çember merkezinin doğruya olan uzaklığına bakılarak incelenir. Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan bir çemberin bir d doğrusuna uzaklığını irdeleyelim:

Not: Bir doğru ile bir çemberin birbirine göre durumu, doğru ve çember denklemlerinin ortak çözümünden yararlanılarak da bulunabilir. Ortak çözüm yapıldığında,

• Çözüm kümesi iki nokta bulunursa doğru çemberi iki noktada keser.
• Çözüm kümesi bir nokta bulunursa doğru çembere teğettir.
• Çözüm kümesi boş küme ise doğru çemberi kesmez.

şekildeki d doğrusu, M merkezli çembere P(x₀, y₀) noktasında teğettir. d doğrusuna P(x₀, y₀) noktasında dik olan k doğrusuna çemberin P(x₀, y₀) noktasındaki normal doğrusu denir.

Teğet Çemberler: Birbirlerine teğet olan çemberlerde merkezleri birleştiren doğru değme noktasından geçer.

Ayrık Çemberler: Hiçbir ortak noktası olmayan çemberlerdir.

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki tüm noktaların kümesine çember denir. Sabit nokta çemberin merkezi ve sabit uzaklık çemberin yarıçapıdır.

Örnek: Merkezi M(-3, 5) ve yarıçapı 2 birim olan çemberin standart denklemini bulalım.
Örnek: Merkezi M(2, -1) olan ve P(3, 2) noktasından geçen çemberin standart denklemini bulalım.
Çözüm: Çemberin merkezi ile çember üzerindeki bir nokta arasındaki uzaklık yarıçapa eşittir. r2 = 10 olur.
Örnek: Analitik düzlemde K(-2, 3) ve L(4, 1) noktaları veriliyor. [KL] yi çap kabul eden çemberin standart denklemini bulalım.
Çözüm: [KL] çap olduğuna göre bu doğru parçasının orta noktası çemberin merkezi olur. Çemberin merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olsun.

Bir denklemin çember belirtebilmesinin şartları vardır.

• Çember denkleminde X2 ve y2 nin katsayıları eşit olmalıdır.
• Çember denkleminde (x,y) li terim olmamalıdır.
• Çemberin diskriminantı olan A2 + B2 - 4C ifadesi sıfır dan büyük olmalıdır. 2+B2-4c Çünkü çemberin yarıçapı r dır.
  1. A2 + B2 r 4C > 0 ise verilen denklem çember belirtir.
  2. A2 + B2 - 4C = 0 ise verilen denklem nokta belirtir.
  3. A2 + B2 - 4C < 0 ise verilen denklem çember belirtmez.

Çember merkezinin doğruya olan uzaklığı yarıçaptan büyük ise, doğru çemberi kesmez. |MH| > r olduğundan d doğrusu M merkezli çemberi kesmiyor. Çember merkezinin doğruya olan uzaklığı yarıçaptan küçük ise, doğru çemberi iki noktada keser. |MH| < r olduğundan d doğrusu M merkezli çemberi iki noktada kesiyor.