Çarpanlar ve katlar, matematikte sayıların bölünebilirlik özellikleri ile ilgilidir. Bu konu, sayıların çarpanlara ayrılması, asal çarpanlar ve en küçük ortak kat (EKOK) ve en büyük ortak bölen (EBOB) kavramlarını kapsar. 8. sınıf matematik müfredatında çarpanlar ve katlar konusunu öğrenmek, sayıların bölünebilirlik özelliklerini anlamayı sağlar ve problemleri çözme yeteneğinizi geliştirir. Bu bölümde çarpanları, katları, asal sayıları ve bölünebilme kurallarını inceleyerek konuyu daha iyi anlayacağız.
Bunlarda İşinize Yarayabilir
8. SINIF ÇARPANLAR VE KATLAR DERS NOTU
A. BİR POZİTİF TAM SAYININ POZİTİF TAM SAYI ÇARPANLARI (BÖLENLERİ)
Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölebilen sayılara, o pozitif tam sayının pozitif tam sayı çarpanları denir.
Önemli Bilgi: Her pozitif tam sayı kendisinin bir çarpanı ve katıdır.
Çözümlü Örnekler
B. ASAL SAYILAR
1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, sayıları birer asal sayıdır.
Hatırlayalım:
– 1 asal sayı değildir.
– En küçük asal sayı 2’dir.
– 2’den başka çift olan asal sayı yoktur.
Çözümlü Örnekler
C. ASAL ÇARPANLAR
Bir doğal sayının çarpanlarından asal sayı olanlarına, bu doğal sayının asal çarpanları denir. Bir sayının asal çarpanlarını belirlemenin üç farklı yolu vardır.
- Verilen doğal sayının tüm çarpanlarını yazıp içlerinden asal olanları belirlenir.
- Verilen doğal sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Daha sonra bulunan sayılar asal olana kadar çarpanlara ayırmaya devam edilir. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar verilen doğal sayının asal çarpanlarıdır. (Çarpan ağacı)
- Verilen doğal sayının yanına dikey bir çizgi çizilir. En küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölemediğimizde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yapılır. 1 elde edilince işleme son verilir. Çizginin sağında kalan sayılar verilen doğal sayının asal çarpanları olur. (Asal çarpan algoritması veya bölen listesi)
Dikkat: Bir doğal sayının asal çarpan sayısı bulunurken birbirinden farklı asal çarpanları sayılarak sonuca gidilir.
Çözümlü Örnekler
D. POZİTİF TAM SAYILAR ASAL ÇARPANLARINA AYRILARAK ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ
Pozitif tam sayılar, asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra üslü veya üslü ifadelerin çarpımı biçiminde gösterilebilir.
Çözümlü Örnekler
E. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak katlarından en küçüğüne, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) denir.
a ile b’nin en küçük ortak katı EKOK (a, b) veya (a, b)ekok ile gösterilir.
Önemli Bilgi: Verilen iki doğal sayının ortak katlarını tek tek yazıp en küçüğünü bulmak yerine bu sayıların asal çarpanlarından faydalanarak en küçük ortak katı bulmak daha kullanışlı bir yoldur.
Çözümlü Örnekler
F. EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinden en büyük olanına, bu doğal sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) denir.
a ile b’nin en büyük ortak böleni, EBOB (a, b) veya (a, b)ebob şeklinde gösterilir.
Çözümlü Örnekler
G. ARALARINDA ASAL SAYILAR
1’den başka ortak doğal sayı böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.
Çözümlü Örnekler
Soru 1:
Ortak Katlar
Ayşe ve Ece’nin spor programı şöyledir: Ayşe 12 günde bir, Ece ise 18 günde bir spor salonuna gitmektedir. İlk kez aynı gün spor salonuna giden Ayşe ve Ece, tekrar aynı gün spor salonuna kaç gün sonra gideceklerdir?
Çözüm:
Bu soruda Ayşe ve Ece’nin tekrar aynı gün spor salonuna gitmeleri için ortak katı bulmamız gerekiyor. Bu tür problemlerde En Küçük Ortak Kat (EKOK) hesaplanır.
12 ve 18 sayılarının asal çarpanlarına ayıralım:
- 12 = 2² × 3¹
- 18 = 2¹ × 3²
EKOK, bu sayıların asal çarpanlarının en büyük kuvvetlerinin çarpımıdır:
- EKOK(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Sonuç olarak, Ayşe ve Ece 36 gün sonra tekrar aynı gün spor salonuna gideceklerdir.
Soru 2:
Çarpan Bulma
Bir otoparkta araba park yerleri dört sıra halinde düzenlenmiştir. Her sırada eşit sayıda araba park yeri bulunmaktadır. Toplam 96 araba park edebilmektedir. Kaç farklı şekilde her sırada eşit sayıda araba park yeri olabilir?
Çözüm:
Bu soruda 96’nın çarpanlarını bulmamız gerekiyor. Her sıraya eşit sayıda park yeri olacağı için, her sıradaki yer sayısı 96’nın bir çarpanı olacaktır. 96 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını bulalım:
96’yı asal çarpanlarına ayıralım:
- 96 = 2⁵ × 3¹
Bu sayının çarpanlarını bulmak için çarpan sayısı formülünü kullanabiliriz:
- (5 + 1) × (1 + 1) = 6 × 2 = 12
Sonuç: 96’nın 12 pozitif tam sayı çarpanı vardır. Dolayısıyla, arabalar 12 farklı şekilde park edilebilir.
Soru 3:
Ortak Bölenler ve EKOK
45 ve 60 sayılarının hem en büyük ortak böleni (EBOB) hem de en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?
Çözüm:
İlk olarak, her iki sayıyı asal çarpanlarına ayıralım:
- 45 = 3² × 5¹
- 60 = 2² × 3¹ × 5¹
EBOB için her iki sayının ortak çarpanlarının en küçük kuvvetleri alınır:
- EBOB(45, 60) = 3¹ × 5¹ = 15
EKOK için her iki sayının ortak ve ortak olmayan çarpanlarının en büyük kuvvetleri alınır:
- EKOK(45, 60) = 2² × 3² × 5¹ = 4 × 9 × 5 = 180
Sonuç:
- EBOB(45, 60) = 15
- EKOK(45, 60) = 180
Soru 4:
Problemlerle EBOB ve EKOK
Bir otobüs firmasının iki güzergahı vardır. Birinci güzergah her 24 günde bir, ikinci güzergah ise her 32 günde bir bakıma alınmaktadır. İlk kez aynı gün bakıma alınan otobüsler tekrar aynı gün kaç gün sonra bakıma alınır?
Çözüm:
Bu tip sorularda, iki periyodik olayın tekrar aynı anda gerçekleşmesi için En Küçük Ortak Kat (EKOK) kullanılır.
24 ve 32’nin asal çarpanlarına ayıralım:
- 24 = 2³ × 3¹
- 32 = 2⁵
EKOK, asal çarpanların en büyük kuvvetlerinin çarpımıdır:
- EKOK(24, 32) = 2⁵ × 3¹ = 32 × 3 = 96
Sonuç: Otobüsler 96 gün sonra tekrar aynı gün bakıma alınacaktır.
Soru 5:
Ürün Sayısının Belirlenmesi
Bir fabrikada 72 ve 120 sayıda ürün, eşit sayıda paketlere ayrılacaktır. Paketlerdeki ürün sayısı en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Bu soruda, iki sayıyı eşit sayıda paketlere ayırmamız gerektiği için En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kullanılır.
72 ve 120’nin asal çarpanlarına bakalım:
- 72 = 2³ × 3²
- 120 = 2³ × 3¹ × 5¹
EBOB için her iki sayının ortak çarpanlarının en küçük kuvvetleri alınır:
- EBOB(72, 120) = 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24
Sonuç: Paketlerdeki ürün sayısı en fazla 24 olabilir.
Eren zengin
Notlar için teşekkürler