Bölme ve Bölünebilme Tyt Matematik

Kategoriler: Konu Anlatımları, Matematik, Tyt Matematik
Cepokul

Bölme ve Bölünebilme ders videoları sayfanın sonunda bulunmaktadır.

Bölme ve bölünebilme en temel kavramlar arasında yer alır. Bir a sayısı b sayısına bölündüğünde sonucun tam sayı olup olmaması büyük önem taşır. Bölünebilme kurallarında 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 ile bölünebilmenin yanında 6, 12, 15 ,18, 24 gibi sayılar ile bölünebilme kurallarını inceleyeceğiz.

BÖLME İŞLEMİ

a, b ∈ ℕ, b ≠ 0 olmak üzere, a = b . c koşulunu sağlayan bir
c ∈ ℕ doğal sayısı varsa a nın b ye bölümü c dir denir ve
\fn_jvn a \div b = c \ veya \ \frac{a}{b}
şeklinde gösterilir. Burada; a bölünen, b bölen ve c bölümdür.
b|a ifadesi b böler a biçiminde okunur ve a sayısı b sayısına tam (kalansız) bölünür demektir.

 

Örnek: 3 | 15 ifadesi doğrudur ve “3 böler 15 i” biçiminde okunur. 15 sayısı 3 e tam (kalansız) bölünür demektir.

KALANLI BÖLME İŞLEMİ

  • Bir bölme işleminde bölüm, bölenden büyük olabilir.
  • Kalan, bölenden daima küçük olmalıdır.

Bilgi: A, B ve x doğal sayılar ve x ≠ 0 olmak üzere, A nın x ile bölümünden kalan m, B nin x ile bölümünden kalan n dir. Buna göre, A . B nin x ile bölümünden kalan, m . n nin x ile bölümünden kalana eşittir.

Çözümlü Sorular 

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

Bu bölümde 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını inceleyeceğiz. Ayrıca; 6, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 36, 45 gibi sayılar ile bölünebilme kurallarını öğreneceğiz.

2 ile Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam çift olan sayılar (0, 2, 4, 6, 8) 2 ile tam bölünür. Tüm çift sayılar 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

3 ile Bölünebilme

Rakamları toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Örnek: 126 sayısı 3 ile tam bölünür. Çünkü, 1 + 2 + 6 = 9 sayısı 3 ün katıdır.
643 sayı 3 ile tam bölünmez. 6 + 4 + 3 = 13 toplamı 3 ün katı değildir.

k tam sayı olmak üzere,

  • 3 ile tam bölünen sayılar 3k biçiminde yazılır.
  • 3 ile bölümünden 1 kalanını veren sayılar, 3k + 1 biçiminde yazılır.
  • 3 ile bölümünden 2 kalanını veren sayılar, 3k + 2 biçiminde yazılır.

4 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının birler ve onlar basamağından oluşan sayı 4 ile tam bölünürse bu sayı 4 ile bölünür. Beş basamaklı abcde sayısının 4 ile bölünebilmesi için de sayısı 4 ile bölünmelidir.
Burada, de sayısı 00, 04, 08, … biçiminde de olabilir.

5 ile Bölünebilme

Birler basamağında 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

8 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının birler, onlar ve yüzler basamağındaki rakamlardan oluşan sayı 8 ile bölünürse bu sayı 8 ile bölünür.
Beş basamaklı abcde sayısının 8 ile bölünebilmesi için üç basamaklı cde sayısı 8 ile bölünmelidir.

Son üç basamağı 000, 008, 016, 040, … biçiminde olan sayılar da 8 ile tam bölünür.

9 ile Bölünebilme

Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, bu sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

10 ile Bölünebilme

Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür.

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, bu sayının birler basamağının 10 ile bölümünden kalana eşittir.

11 ile Bölünebilme

Diğer Bölünebilme Kuralları

Bilgi: A ve B doğal sayılarının ortak böleni 1 olsun (aralarında asal). Bu durumda, hem A hem de B ile tam bölünen sayılar, A . B çarpımı ile de bölünür. Bu ifadenin tersi de doğrudur.

  • Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen bir sayı 2 . 3 = 6 ile de bölünür.
  • Hem 3 hem de 4 ile bölünebilen bir sayı 3 . 4 = 12 ile de bölünür.
  • Hem 4 hem de 5 ile bölünebilen bir sayı 4 . 5 = 20 ile de bölünür.

Bölme ve Bölünebilme Soruları ve Çözümleri

Şenol Hoca: Bölme ve Bölünebilme

Hocalara Geldik: Bölme ve Bölünebilme

  • a = b.c + k
    Bölünen sayı; bölen ile bölümün çarpımının, kalan ile toplamına eşittir.
  • Kalan, bölenden küçüktür. 0 ≤ k < b dir.
  • k < c olduğunda bölen ile bölümün yerlerinin değiştirilmesi kalanı değiştirmez.

Örnek: İki doğal sayıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 9, kalan 2 oluyor. Bölünen, bölen ve bölümün toplamı 101 olduğuna göre, bölen kaçtır?
A) 7    B) 8    C) 9    D) 10    E) 11

Çözüm: Bölünen sayı x, bölen sayı y olsun. İki doğal sayıdan biri diğerine bölündüğünde, bölüm 9, kalan 2 ise x = 9y + 2 dir. (*)
Bölünen, bölen ve bölümün toplamı 101 ise
x + y + 9 =101 (**) dir.
(**) denkleminde, x yerine (*) eşitliğini yazalım.
x+y+9=101
9y+2+y+9=101
10y +11=101
10y=101-11 ise 10y =90 ise y= 9
Buna göre, bölen sayı 9 dur. Cevap C

Birler basamağındaki rakam çift olan sayılar (0, 2, 4, 6, 8) 2 ile tam bölünür.
Tüm çift sayılar 2 ile tam bölünür.
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

Örnek: Rakamları birbirinden farklı, dört basamaklı 256X sayısı 2 ile tam bölünmektedir. Buna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm: Dört basamaklı sayının rakamları farklı olduğuna göre, X rakamı 2 ve 6 olamaz. Buna göre, x in alabileceği değerler 0, 4 ve 8 dir.
x in alabileceği değerlerin toplamı ise 0 + 4 + 8 = 12 dir.

Örnek: Dört basamaklı 2ab6 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 dir. Buna göre, a + b nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 6    B) 7    C) 8    D) 9    E) 10
Çözüm: 2ab6 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre,
2 + a + b + 6 = 3k + 1 olmalıdır. (k tam sayı)
8 + a + b = 3k + 1
a + b = 3k- 7
k en az 3 tür. k= 3 için a+ b = 2 dir. Rakamlar birbirinden farklı olduğu için, a + b toplamı en çok 17 dir.
Öyleyse, k en çok a dir. k = s için a + ı = 17 dir. Buna göre, k nin 3, 4, 5, 6, 7 ve 8 değerleri için, a + b toplamı 6 farklı değer alabilir. Cevap A

Örnek: Üç basamaklı 2m7 doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 tür. Bu sayının 3 ile tam bölünebilmesi için m nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 19 B) 15 C) 12 D) 8 E) 6
Çözüm: 1. durum: 2m7 doğal sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, m7 sayısının da 4 ile bölümünden kalan 3 tür.
m7 = 4k + 3 tür. (k tam sayı)
m nin alabileceği değerler; D, 2, 4, 6, 8 olabilir.
2. durum: 2m7 sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre,
2 + m + 7 = 3n (n tam sayı) olmalıdır. 9 + m = 3n
n=3 için m=0, n=4 için m=3,
n=5 için m=6 ve n=6 için m=9 dur.
Her iki durumda, m nin ortak değerleri 0 ve 6 dır. Buna göre, m nin alabileceği değerlerin toplamı 0 + 6 = 6 olur. Cevap E

Örnek: 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren iki basamaklı kaç doğal sayı vardır?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

Çözüm: AB iki basamaklı doğal sayı olsun.
AB = 5k + 3 olmalıdır. (k tam sayı)
k = 2 olduğunda en küçük AB sayısı 13 olur.
k = 19 olduğunda en büyük AB sayısı 98 olur.
Buna göre, koşula uygun 19 - 2 + 1 = 18 tane iki basamaklı AB doğal sayısı vardır. Cevap E

Bir doğal sayının 11 ile bölünebilmesi için, sayıyı sağ baştan başlayarak +, - işaretleriyle sınıflandırmalı ve + işaretli rakamlar toplamının - işaretli rakamlar toplamından farkını bulmak gereklidir. Sonuçta bulunan sayı 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür.

Liselere Giriş Sınavı (LGS)
15 Haziran 2025 Pazar
Temel Yeterlilik Sınavı (TYT)
14 Haziran 2025 Cumartesi
Alan Yeterlilik Sınavı (AYT)
15 Haziran 2025 Pazar