9. Sınıf Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma Test Çöz

Soru 1:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla AB = 5 cm, AC = 6 cm ve BC = 7 cm'dir. ABC üçgenine benzer bir DEF üçgeni oluşturulmak isteniyor ve DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 10 cm olarak veriliyor.
a) Bu iki üçgenin benzerlik oranını bulun.
b) DEF üçgeninin diğer iki kenarı olan DF ve EF uzunluklarını hesaplayın.

Çözüm:
a) Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. Benzerlik oranını bulmak için AB ve DE kenarlarını karşılaştıracağız:

Benzerlik oranı = DE / AB = 10 / 5 = 2

b) Şimdi, diğer iki kenarı bu benzerlik oranına göre hesaplayalım:

AC / DF = 6 / x → 6 / x = 2 → x = 6 x 2 = 12 cm
BC / EF = 7 / y → 7 / y = 2 → y = 7 x 2 = 14 cm

Bu durumda, DEF üçgeninin diğer kenarları DF = 12 cm ve EF = 14 cm'dir.

Soru 2:
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri sırasıyla 30°, 60° ve 90°'dir. Bu üçgenin kenarlarından biri 5 cm olarak veriliyor. Bu üçgene benzer başka bir üçgen oluşturulmak isteniyor ve yeni üçgenin kenarlarından biri 10 cm olarak belirlenecektir.
a) Benzerlik oranını hesaplayın.
b) Yeni üçgenin diğer iki kenarının uzunluklarını bulun.

Çözüm:
a) Orijinal üçgende bir kenar 5 cm'dir, yeni üçgende bu kenar 10 cm olacaktır. Benzerlik oranı:

Benzerlik oranı = 10 / 5 = 2

b) Yeni üçgenin diğer kenarlarını bu oranla bulacağız. Örneğin, orijinal üçgenin 30°-60°-90°'lik üçgen olduğunu biliyorsak, bu üçgenin kenarları arasında özel bir oran vardır:

• Karşısında 30° olan kenar x,
• Karşısında 60° olan kenar x√3,
• Karşısında 90° olan kenar 2x'tir.

Orijinal üçgenin 90° karşısındaki kenar 5 cm ise, bu üçgenin diğer kenarlarını bulalım. Karşısında 30° olan kenar:
5 / 2 = 2.5 cm,
Karşısında 60° olan kenar:
2.5√3 ≈ 4.33 cm.

Yeni üçgen için kenarlar iki katına çıkacaktır:

• 30° karşısındaki kenar: 2.5 x 2 = 5 cm
• 60° karşısındaki kenar: 4.33 x 2 ≈ 8.66 cm

Bu durumda, yeni üçgenin kenarları 5 cm ve 8.66 cm olacaktır.

Soru 3:
Bir ikizkenar üçgenin iki eşit kenarının uzunluğu 7 cm, tabanının uzunluğu ise 10 cm'dir. Bu üçgene benzer bir üçgen oluşturulmak isteniyor ve benzerlik oranı 3/2 olarak belirleniyor.
a) Yeni oluşturulacak üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayın.
b) Yeni üçgenin çevresini bulun.

Çözüm:
a) Benzerlik oranı 3/2 olduğuna göre, yeni üçgenin her bir kenarını bu oranla büyüteceğiz:

• Eşit kenarların yeni uzunluğu: 7 x (3/2) = 21/2 = 10.5 cm
• Tabanın yeni uzunluğu: 10 x (3/2) = 15 cm

b) Yeni üçgenin çevresi, tüm kenarların toplamıdır:

Çevre = 10.5 + 10.5 + 15 = 36 cm

Soru 4:
Bir ABC üçgeninde açıların ölçüleri sırasıyla 45°, 45° ve 90°'dir. Bu üçgene benzer ve 1/2 oranında küçültülmüş bir üçgen oluşturuluyor.
a) Küçültülen üçgenin açılarını yazın.
b) Eğer ABC üçgeninin hipotenüsü 10 cm ise, küçültülen üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulun.

Çözüm:
a) Benzerlikte üçgenlerin açıları aynı kalır. Yani küçültülen üçgenin açıları da 45°, 45° ve 90° olacaktır.

b) Küçültülen üçgenin kenarları 1/2 oranında küçülecektir. Orijinal üçgenin hipotenüsü 10 cm olduğuna göre:

Hipotenüs = 10 x (1/2) = 5 cm

Bu durumda, küçültülen üçgenin hipotenüsü 5 cm olacaktır.

Soru 5:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgene benzer bir üçgen oluşturulmak isteniyor ve oluşturulan üçgenin çevresi 36 cm olacaktır.
a) Bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranını bulun.
b) Yeni oluşturulan üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayın.

Çözüm:
a) Benzerlik oranını bulmak için iki üçgenin çevrelerini karşılaştıralım. İlk üçgenin çevresi:

Çevre = 9 + 12 + 15 = 36 cm

Yeni üçgenin çevresi de 36 cm olduğuna göre, benzerlik oranı:

Benzerlik oranı = 36 / 36 = 1

b) Benzerlik oranı 1 olduğuna göre, yeni üçgenin kenar uzunlukları da orijinal üçgenle aynı olacaktır. Yani:

Yeni üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm olacaktır.