Bu yazımızda uç noktalarının koordinatları verilen bir doğru parçasını verilen bir oranda içten veya dıştan bölen bir noktanın koordinatlarının nasıl bulunduğunu anlatacağız. İçten ve dıştan bölme konusu 10. sınıf matematik müfredatında Analitik Geometri ünitesinin doğrunun analitik incelenmesi konusu içerisinde yer alır ve iki nokta arasındaki uzaklık konusundan hemen sonra gelir.

Örnek:

Çözümlü Örnek Test Soruları: Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

Soru 1:
A(2, 3) ve B(8, 5) noktaları arasındaki doğru parçasını 1:2 oranında bölen C noktasının koordinatları nedir?
a) (4, 4)
b) (6, 4.33)
c) (5, 4)
d) (7, 4.5)
Çözüm: C noktası A ve B noktalarını 1:2 oranında böldüğü için, C’nin koordinatları (4, 4) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 2:
P(1, -1) ve Q(7, 5) noktaları arasındaki doğru parçasını 3:1 oranında bölen R noktasının koordinatları nedir?
a) (5, 3)
b) (6, 2)
c) (4, 2)
d) (7, 4)
Çözüm: R noktası P ve Q noktalarını 3:1 oranında böldüğü için, koordinatlar (5, 3) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 3:
K(-2, 3) ve L(4, 9) noktaları arasındaki doğru parçasını 1:3 oranında bölen M noktasının koordinatları nedir?
a) (0, 6)
b) (1, 5)
c) (2, 7)
d) (3, 8)
Çözüm: M noktası K ve L noktalarını 1:3 oranında böldüğü için koordinatlar (0, 6) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 4:
A(0, 0) ve B(10, 10) noktaları arasındaki doğru parçasını 2:3 oranında bölen C noktasının koordinatları nedir?
a) (4, 4)
b) (5, 5)
c) (6, 6)
d) (7, 7)
Çözüm: C noktası A ve B noktalarını 2:3 oranında böldüğü için, koordinatlar (4, 4) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 5:
X(-5, -5) ve Y(5, 5) noktaları arasındaki doğru parçasını 1:4 oranında bölen Z noktasının koordinatları nedir?
a) (-3, -3)
b) (-1, -1)
c) (0, 0)
d) (1, 1)
Çözüm: Z noktası X ve Y noktalarını 1:4 oranında böldüğü için, koordinatlar (-3, -3) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 6:
M(2, -2) ve N(8, 4) noktaları arasındaki doğru parçasını 3:2 oranında bölen P noktasının koordinatları nedir?
a) (5, 1)
b) (4, 0)
c) (6, 2)
d) (7, 3)
Çözüm: P noktası M ve N noktalarını 3:2 oranında böldüğü için, koordinatlar (5, 1) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 7:
E(-4, -2) ve F(6, 8) noktaları arasındaki doğru parçasını 1:2 oranında bölen G noktasının koordinatları nedir?
a) (2, 4)
b) (3, 3)
c) (0, 2)
d) (1, 1)
Çözüm: G noktası E ve F noktalarını 1:2 oranında böldüğü için, koordinatlar (2, 4) olarak bulunur. Cevap: a)

Soru 8:
P(1, 1) ve Q(7, 10) noktaları arasındaki doğru parçasını 2:1 oranında bölen R noktasının koordinatları nedir?
a) (5, 7)
b) (4, 6)
c) (6, 8)
d) (3, 4)
Çözüm: R noktası P ve Q noktalarını 2:1 oranında böldüğü için, koordinatlar (5, 7) olarak bulunur. Cevap: a)

Uç noktalarının koordinatları; A(x1, y1), B(x2, y2) olan [AB]’nı k (k ¥ R) oranında içten ve dıştan bölen noktalarının koordinatlarını bulalım. AB doğru parçasını, k oranında içten bölen nokta C(x, y) ve A, B, C noktalarının x ekseni üzerindeki dik iz düşümleri Aı, Bı, Cı olsun. C̦AD ~ B̦CE ’dir (A. A. A. benzerlik teoremi).
Bu benzerlikten, IADI = IAı CıI = x – x1 ve ICEI = ICı BıI = x2 – x’tir. Benzer biçimde, y = y1 + ky2 1 + k bulunur. O hâlde, C(x, y)  C ,  olur. k = 1 ise C noktası doğru parçasının orta noktası olur. AB doğru parçasını, k oranında dıştan bölen nokta D(x0, y0) olsun. Örnek: Uç noktaları; A(1, 8), B(–9, 12) olan [AB] veriliyor. ICBI IACI 3 bölü 1 oranında içten bölen C, IDAI IDBI 3 oranında dıştan bölen D noktasının koordinatlarını bulalım. Ordinatlar arasında 4n için 4 br artma olmuş, n için 1 br artma olur. A noktasının ordinatı 8 olduğundan, C noktasının ordinatı y = 8 + 1 = 9 olur. Yaşları 16 ve 24 olan iki kardeş yanda planı verilen üçgensel bölge şeklindeki arsayı yaşları ile doğru orantılı olarak paylaşmak istiyorlar. Paylaşma sonucunda arsalarının ortak kenarının [BC] üzerindeki noktasının koordinatlarını bulunuz. Bu arsanın AEF üçgensel bölgesi yeşil alan olarak bırakılıyor. E noktasının koordinatlarını
bulunuz. C noktasına [AB] nı k oranında içten bölen nokta adı verilir. Şekildeki ALB üçgeninde [KP] // [LB] olduğundan, temel benzerlik teoremi uygulanabilir.