Binom açılımı, matematikte özellikle üstlü ifadelerle çalışırken sıkça kullanılan önemli bir konudur. Binom açılımı, iki terimin toplamının bir üst sayı ile çarpımı sonucu elde edilen ifadelerin açılımını sağlar. Pascal üçgeni ile desteklenen bu açılım, cebirsel hesaplamalarda, olasılık teorisinde ve birçok farklı matematiksel problemde kullanılır. 10. sınıf matematik müfredatında öğrenciler, binom açılımının temel özelliklerini, katsayılarını ve terim sayısını hesaplama gibi konuları öğrenirler. Aşağıdaki yeni nesil test soruları, öğrencilerin binom açılımı kavramını daha iyi anlamaları ve bu bilgiyi problem çözmede etkin bir şekilde kullanmalarını sağlamak amacıyla hazırlanmıştır.

10. Sınıf Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı

10. Sınıf Binom Açılımı Testleri

Binom Açılımı Test 1 Çöz

Binom Açılımı Test 2 Çöz

Çözümlü Örnek Test Soruları

Soru 1:

Bir pasta şefi, özel bir tarifinde farklı katmanlar kullanarak pasta yapmaktadır. Pasta katmanlarının her birinde farklı aromalar bulunmakta ve katmanların sayısı arttıkça pastanın lezzeti daha da çeşitlenmektedir. Şef, her bir katmanı 2 çikolata, 3 vanilya aroması kullanarak hazırlamaktadır. Şef, pastayı 4 katmanlı olarak hazırlamak istiyor. Bu durumda, pastanın içeriğinde çikolata ve vanilya aromalarının oranını hesaplamak için, (2x + 3)⁴ ifadesinin açılımında x² teriminin katsayısını bulması gerekmektedir. Şefin elde edeceği sonuç nedir?

A) 54
B) 72
C) 108
D) 144
E) 216

Çözüm: (2x + 3)⁴ ifadesinin açılımında x² teriminin katsayısı, binom açılımı kullanılarak bulunur. Katsayıyı bulmak için k = 2 seçilerek:
C(4, 2) . (2x)² . 3^{4 – 2} = 6 . 4x² . 9 = 216

Cevap: E)

Soru 2:

Bir çiftlikte çalışan Ali, hayvanlar için yem hazırlamaktadır. Yem karışımında her biri x kg olan buğday ve 3 kg olan arpa kullanmaktadır. Karışımın 5 kat büyütüldüğü bir durumda, toplam yem miktarını bulmak için (x + 3)⁵ ifadesinin açılımındaki x⁴ teriminin katsayısını hesaplaması gerekmektedir. Ali’nin elde ettiği sonuç kaçtır?

A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25

Çözüm: (x + 3)⁵ açılımında x⁴ teriminin katsayısını bulmak için binom açılımı kullanılır. Terim katsayısı, k = 4 seçilerek hesaplanır. Katsayı
C(5, 4) . x⁴ . 3¹ = 15 . x⁴
Bu nedenle cevap: C) 15

Soru 3:

Bir gün, Ayşe ve Ali, dedelerinin bahçesindeki meyve ağaçlarını toplamaya yardım etmek üzere köye gittiler. Dedelerinin bahçesinde 8 sıra elma ve armut ağacı vardı. Dedesi, her sırada yalnızca bir elma veya bir armut ağacı olduğunu söyledi. Ali, bu ağaçların nasıl sıralandığını merak etti ve sayılarla oynayarak bir oyun yapmak istedi. Ali, her sırada ağaçların farklı dizilimlerinin ne olabileceğini hesaplamak istedi. Bu oyunu çözmenin bir yolunu düşünmeye başladı.

Ali, her sırada elma ve armut ağaçlarının kombinasyonlarını hesaplamak için binom açılımını kullanabileceğini hatırladı ve (e + a)⁸ ifadesini kullanmaya karar verdi. Elma ve armutların çeşitli kombinasyonlarıyla hangi sırada kaç elma olabileceğini anlamak istiyordu. Ayşe ise bu sıradaki elmaların ne kadar sıklıkta yan yana olabileceğini merak etti. Ali’nin oyunu çözebilmesi için:

(e + a)⁸ açılımında, e⁴ ⋅ a⁴ teriminin katsayısı kaçtır?

Çözüm:  k = 4 alarak genel formül yazılır.
C(8, 4​) ⋅ e⁴ ⋅ a⁴
C(8, 4​) = 70

Bu durumda, e⁴ ⋅ a⁴ teriminin katsayısı 70 olur. Doğru cevap A