Bileşik önermelerden önce aşağıdaki konulara göz gezdirebilirsiniz.

• Önerme Nedir
• Doğruluk Değeri ve Doğruluk Tablosu
• Denk Önermeler
• Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bu yazımızda Bileşik Önermeler Konu Anlatımı bulunmaktadır. Konu anlatımını bitirdikten sonra Bileşik Önermeler Çözümlü Sorular yazımızdaki soru çözümlerini de görebilirsiniz.
Sonraki Konu: Koşullu Önerme ve İki Yönlü Koşullu Önerme

Bileşik Önermeler Konu Anlatımı

En az iki önermenin “veya”, ve”, “ya da”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi işlemlerle (bağlaçlarla) birbirine bağlanmasından elde edilen yeni önermelere bileşik önermeler denir. Bileşik olmayan önermelere basit önermeler denir.

Örnek:

• “Ali ve Veli birlikte ders çalışmıştır.”
• “Ayşe veya Yeliz evdedir.”
• “Kadir ya da Kemal soruyu çözmüştür.”
• “Gemiyle gelmemiş ise karayolunu kullanmıştır.”
• “Ders çalışırsan ancak ve ancak başarılı olursun.”

Önerme türleri bileşik önermelerdir.

Örnek: “24 – 13 = 11” önermesi basit önermedir.

Ve Bağlacı

p ve q önermesinin “ve” bağlacı ile bağlanması sonucu oluşan “p ve q” bileşik önermesi “p ∧ q” biçiminde yazılır.

p ve q Önerme Doğruluk Tablosu

• p ∧ q önermesi, p ile q önermelerinin her ikisi de doğru iken doğrudur, diğer durumlarda ise yanlıştır.

  1 ∧ 1 ≡ 1, 1 ∧ 0 ≡ 0, 0 ∧ 1 ≡ 0 ve 0 ∧ 0 ≡ 0

Ve (∧) Bağlacının Özellikleri

1. p ∧ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. p ∧ q ≡ q ∧ p (Değişme özelliği)
3. (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) (Birleşme özelliği)
4. p ∧ 1 ≡ p
5. p ∧ 0 ≡ 0
6. p ∧ p^ı ≡ 0

Çözümlü Sorular

Veya Bağlacı

p ile q önermelerinin veya bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan “p veya q” bileşik önermesi “p ∨ q” biçiminde gösterilir.

p veya q Önerme Doğruluk Tablosu

Veya (∨) Bağlacının Özellikleri

1. p ∨ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. p ∨ q ≡ q ∨ p (Değişme özelliği)
3. (p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) (Birleşme özelliği)
4. p ∨ 1 ≡ 1
5. p ∨ 0 ≡ p
6. p ∨ p^ı ≡ 1

Çözümlü Sorular

Dağılma Özelliği

Çözümlü Sorular

De Morgan Kuralları

p ve q önermeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır.

• p veya q’nun değili: (p ∨ q)’ ≡ p’ ∧ q’
• p ve q’nun değili: (p ∧ q)’ ≡ p’ ∨ q’

Bu kurallara De Morgan kuralları denir.

Çözümlü Sorular

Ya da Bağlacı

p ile q önermelerinin ya da bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önerme p ⊻ q biçiminde gösterilir.

p ya da q önermesinin doğruluk tablosu:

• p ⊻ q bileşik önermesi, önermelerden sadece biri doğru iken doğrudur, diğer durumlarda yanlıştır.

Ya Da (⊻) Bağlacının Özellikleri

• p ⊻ 0 ≡ p
• p ⊻ 1 ≡ p’
• p ⊻ p’ ≡ 1
• p ⊻ p ≡ 0
• p ⊻ q ≡ q ⊻ p (Değişme özelliği)
• (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) (Birleşme özelliği)

Çözümlü Sorular

Bileşik Önermeler Soru Çözümleri

Çözümlü Örnek Test Soruları: Bileşik Önermeler

1. “Ahmet çalışkandır ve derslerini düzenli tekrar eder.” cümlesi hangi tür bileşik önermedir?

• A) Koşullu önerme
• B) Veya bağlacı ile kurulmuş önerme
• C) Ve bağlacı ile kurulmuş önerme
• D) Değilleme

Çözüm: İki önerme “ve” bağlacı ile birleştirilmiş, bu nedenle bileşik önerme türü “ve” bağlacı ile kurulmuş önermedir. Doğru yanıt C şıkkıdır.

2. “Bugün hava yağmurlu veya sıcak olacak.” ifadesinde kullanılan bileşik önerme türü nedir?

• A) Ve bağlacı ile kurulmuş önerme
• B) Veya bağlacı ile kurulmuş önerme
• C) Koşullu önerme
• D) İki yönlü koşullu önerme

Çözüm: İki önerme “veya” bağlacı ile birleştirilmiş, bu nedenle “veya” bağlacı ile kurulmuş önermedir. Doğru yanıt B şıkkıdır.

3. “Eğer sınava çalışırsam başarılı olurum.” cümlesinde hangi bileşik önerme türü kullanılmıştır?

• A) Koşullu önerme
• B) Veya bağlacı ile kurulmuş önerme
• C) İki yönlü koşullu önerme
• D) Ve bağlacı ile kurulmuş önerme

Çözüm: Bu önerme “eğer…ise” ifadesiyle kurulmuş olup koşullu önermedir. Doğru yanıt A şıkkıdır.

4. Aşağıdakilerden hangisi bir önermenin değillemesi ile oluşturulmuş bir bileşik önermedir?

• A) Bugün hava güneşli veya rüzgarlı
• B) Eğer yağmur yağarsa dışarı çıkmam
• C) Bugün hava yağmurlu değil
• D) Hem sıcak hem de nemli bir gün

Çözüm: “Bugün hava yağmurlu değil” ifadesi bir önermenin değillemesiyle oluşturulmuş bir bileşik önermedir. Doğru yanıt C şıkkıdır.

5. “Ali çalışkandır ve başarılıdır” ifadesinin değillemesi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Ali çalışkandır veya başarısızdır
• B) Ali tembeldir ve başarılı değildir
• C) Ali çalışkandır ve başarısızdır
• D) Ali çalışkan değildir veya başarılı değildir

Çözüm: “Ve” bağlacı ile birleşen iki önermenin değillemesi “değildir veya değildir” şeklinde ifade edilir. Doğru yanıt D şıkkıdır.

6. “Eğer bugün yağmur yağarsa evde kalırım” ifadesinin tersinin doğru olup olmadığı aşağıdaki ifadelerden hangisiyle tanımlanır?

• A) Koşullu önermenin kendisi doğrudur.
• B) Tersinin doğru olup olmadığını bilemeyiz.
• C) Tersini bilmek mümkündür.
• D) Tersinin doğruluğu koşullu önerme için garanti değildir.

Çözüm: Bir önermenin tersinin doğruluğu, koşullu önerme için garanti edilmez. Doğru yanıt D şıkkıdır.

7. “Ali sinemaya gitti veya ders çalıştı.” cümlesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Ali sinemaya gitmedi ve ders çalışmadı.
• B) Ali sinemaya gitti ve ders çalıştı.
• C) Ali sinemaya gitmedi veya ders çalışmadı.
• D) Ali sinemaya gitmedi veya ders çalıştı.

Çözüm: “Veya” bağlacı ile kurulan bir önermenin olumsuzu, “ve” bağlacı ile iki önermenin olumsuzu şeklinde ifade edilir. Doğru yanıt A şıkkıdır.

8. “Yağmur yağıyor ve hava soğuk.” cümlesinin doğruluk değerinin “yanlış” olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?

• A) Yağmur yağıyor ve hava sıcaktır.
• B) Yağmur yağmıyor veya hava sıcak.
• C) Hava sıcak ve yağmur yağıyor.
• D) Yağmur yağıyor ve hava soğuk.

Çözüm: “Ve” bağlacı ile kurulu bir önermenin yanlış olması için en az bir bileşeninin yanlış olması gerekir. Doğru yanıt B şıkkıdır.

9. “Eğer Ali ders çalışırsa başarılı olur” ifadesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir?

• A) Ali ders çalışmazsa başarılı olmaz.
• B) Eğer Ali başarılı olursa ders çalışır.
• C) Ali ders çalışır veya başarılı olur.
• D) Ali çalışırsa başarılıdır.

Çözüm: Bir koşullu önermenin karşıtı, sonucun olumsuz olması durumunda öncülün de olumsuz olmasıdır. Doğru yanıt A şıkkıdır.

Bileşik Önermeler Video

• Bir veya daha fazla önermenin “ve”, “veya”, “ya da”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi bağlaçlarla birbirine bağlanması sonucu elde edilen önermelere bileşik önermeler denir. Bir bileşik önermenin doğruluk değeri, onu oluşturan önermelerin doğruluk değerlerine bağlıdır.
• p ve q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen önermeye p ve q önermesi denir ve p Λ q biçiminde gösterilir. p Λ q önermesinin doğruluk değeri önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
  Örneğin,
  p: Bugün hava güneşli.
  q: Bugün hava sıcak.
  p Λ q: Bugün hava güneşli ve hava sıcak.
  Bu durumda, p önermesi doğru, q önermesi de doğru ise, p Λ q önermesi de doğrudur.
  p önermesi doğru, q önermesi yanlış ise, p Λ q önermesi yanlıştır.
  p önermesi yanlış, q önermesi doğru ise, p Λ q önermesi yanlıştır.

Örnek: “Yağmur yağdı ve şimşek çaktı.”
“Ahmet veya Mehmet markete gitsin”
“Sen ya da kardeşin gelsin.”
“Karayoluyla gelmeyecek ise havayolula gelecektir.”
“Antrenman yaparsan ancak ve ancak maça çıkarsın.”
önermeleri sırasıyla “ve”, “veya”, “ya da , ise”, “ancak ve ancak” bağlaçları ile bağlandığından birer bileşik önermedir.
“11 + 111 = 122″ önermesi basit önermedir.

Örnek: Babası Sinan’dan okuldaki kurslardan satranç veya futbol kursuna katılmasını istiyor. Sinan’ın bu kurslardan,
– Satranç kursuna katılıp futbol kursuna katılmaması
– Futbol kursuna katılıp satranç kursuna katılmaması
– Her iki kursa da katılması
– Hiç bir kursa katılmaması
durumlarının doğrulunu inceleyelim.
Çözüm: Babasının Sinan”dan satranç veya futbol kursuna katılmasını istemesi bu iki kurstan en az birine katılması anlamına gelmektedir. O halde,
Satranç kursuna katılıp futbol kursuna katılmaması (Doğru)
Futbol kursuna katılıp satranç kursuna katılmaması (Doğru)
Hem futbol hem de satranç kursuna katılması (Doğru)
Bu iki kurstan hiçbirine katılmaması (Yanlış)
bir davranıştır.

Örnek:
p : “Yasemin düzenli olarak ders çalışır.”
q : “Yasemin kendine vakit ayırır.”
önermelerini “ancak ve ancak” bağlacını kullanarak iki yönlü koşullu önerme şeklinde yazınız.
Çözüm: p ve q önermelerini “ancak ve ancak” bağlacını kullanarak,
* p <=> q : “Yasemin düzenli olarak ders çalışır ancak ve ancak Yasemin kendine vakit ayırır.”
* q <=> p : “Yasemin kendine vakit ayırır ancak ve ancak Yasemin düzenli olarak ders çalışır.”
şeklinde ifade edebiliriz.

Örnek:
P: “Bir sayı çifttir.”
Q: “Sayı 5’ten büyüktür.”
Aşağıdaki durumu ifade eden bir bileşik önerme oluşturun ve doğruluğunu değerlendirin.
Çözüm: Bileşik Önerme: “Bir sayı çifttir ve sayı 5’ten büyüktür.” İki önerme de doğru olduğunda bileşik önerme doğrudur. Bu durumda, çift olan bir sayıyı ele alalım, mesela 6. Hem çifttir hem de 5’ten büyüktür. Dolayısıyla, bileşik önerme doğrudur.