Matematikte mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını gösteren kavramdır ve her zaman pozitif bir değere sahiptir. Aralıkların mutlak değer gösterimi, özellikle sayılar veya ifadeler belirli bir aralık içinde olduğunda, bu aralığı mutlak değer ile ifade etme becerisini kazandırır. 9. sınıf matematik müfredatında yer alan aralıkların mutlak değer gösterimi konusu, öğrencilerin mutlak değeri kullanarak eşitsizlikleri çözme, aralıkları tanımlama ve yorumlama yeteneklerini geliştirir. Mutlak değerli eşitsizlikler, çözüm aralığının nasıl bulunduğunu ve aralıkların nasıl tanımlandığını anlamak için önemli bir adımdır. Bu yazıda, aralıkların mutlak değerle nasıl gösterildiğini, eşitsizliklerle nasıl ilişkilendirildiğini ve bu tür problemlerin nasıl çözüldüğünü inceleyeceğiz.
9. Sınıf Aralıkların Mutlak Değer Gösterimi Testleri
9. Sınıf Aralıkların Mutlak Değer Gösterimi Ders Notu (Yeni Müfredat)
Uzunluğu 3 birim olan ipin bir ucu sayı doğrusu üzerinde 2 noktasına sabitleniyor. İp, gergin şekilde 2 noktasının sağına ve soluna doğru uzatılıyor ve sayı doğrusun üzerinde çakıştırılıyor.
Bu durumda ipin sayı doğrusu üzerinde temas edebileceği gerçek sayılar kümesini ifade eden aralığı,
2 – 3 = -1 ve 2 + 3 = 5 olmak üzere [-1, 5] kapalı aralığıdır. Şimdi bu aralığı mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade edersek,
|x – 2| ≤ 3 biçiminde olur.
Soru: (6, 14) aralığını mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade ediniz.
Çözüm:
- c = (a + b) / 2
c = (6 + 14) / 2 = 20 / 2 = 10 - d = (b – a) / 2
d = (14 -6) / 2 = 8 / 2 = 4 - |x – c| < d
|x – 8| < 3 - (6, 13) aralığının mutlak değerli eşitsizlik olarak ifadesi
|x – 10| < 4 olacaktır.
Örnek: (-∞, -11] ∪ (-3, ∞] aralığını mutlak değerli eşitsizlik olarak yazınız.
Çözüm: Bu aralığı mutlak değerli eşitsizlik şeklinde ifade etmek için verilen bilgileri kullanarak adımları izleyelim:
- Aralıkların sınır değerlerini bulalım:
a = -11 ve b = -3 - c ve d hesaplayalım:
c = (a + b) / 2 = (-11 + (-3)) / 2 = -14 / 2 = -7
d = |a – b| / 2 = |-11 – (-3)| / 2 = |-11 + 3| / 2 = |-8| / 2 = 4 - Mutlak değer eşitsizliği yazalım:
Aralığın sol kısmı (-∞, -11] olduğundan mutlak değerli eşitsizlik
|x + 7| ≥ 4 olur.
Örnek: Bir aracın, yol aldığı belli bir mesafe aralığındaki hızı x km/saat olmak üzere, her x değeri için,
|x – 60| ≤ 12 eşitsizliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu aracın hızının alabileceği değerlerin kümesini aralık şeklinde ifade ediniz.
Çözüm:
- Verilen mutlak değer eşitsizliği: |x – 60| ≤ 12
- Bu tür eşitsizlikler, şu şekilde çözülür: -12 ≤ x – 60 ≤ 12
- Şimdi her iki tarafa 60 ekleyerek x‘in alabileceği değerleri bulalım:
-12 + 60 ≤ x ≤ 12 + 60
48 ≤ x ≤ 72 - Aracın hızının alabileceği değerler [48, 72] aralığındadır.
Örnek: |x + 2| > 6 mutlak değerli eşitsizliğini aralık gösterimiyle yazınız.
Çözüm:
- İlk adımda |x + 2| ifadesini, |x – (-2)| şeklinde yazabiliriz.
Bu, a = -2 olduğu anlamına gelir. - Şimdi a = -2 ve b = 6 değerlerini verilen bilgiye uygulayalım.
x > -2 + 6 veya x < -2 – 6
x > 4 veya x < -8 - Aralık gösterimi:
(-∞, -8) ∪ (4, ∞)
Aralıkların Mutlak Değer Gösterimi Çözümlü Sorular
Çözümlü Örnek Test Soruları
Soru 1: Bir öğrencinin doğrusal bir sayısal eksende bulunduğu P noktasının koordinatı x olmak üzere, bu öğrenci, A(3) ve B(7) noktaları arasında kalmak istiyor. Öğrencinin mutlak değer eşitsizliği ile gösterilen bu konumunu aşağıdakilerden hangisi doğru tanımlar?
A) |x – 5| < 2
B) |x – 4| ≤ 3
C) |x – 3| < 4
D) |x – 6| ≤ 2
E) |x – 7| < 3
Çözüm: Öğrenci A(3) ve B(7) noktaları arasında bulunuyor. Bu durumda öğrencinin x koordinatı 3 ile 7 arasında olacaktır. Bu tür sorular mutlak değerle yazıldığında, sayılar arasındaki uzaklığı temsil eder.
Bu durumda ortadaki nokta (3 + 7) / 2 = 5 olacaktır ve uzaklık 7 – 3 = 4 olduğuna göre, yarısı olan 2, mutlak değer içinde yer alır.
Eşitsizliğimiz şu şekildedir:
|x – 5| < 2
Doğru cevap: A
Soru 2: Bir dikdörtgenin uzun kenarının orta noktası c olarak tanımlanmış ve bu orta noktadan dikdörtgenin kenarlarına olan uzaklıkların farkı 4 birimdir. Buna göre, bu dikdörtgenin uzun kenarı arasında kalan noktalardan herhangi birinin koordinatı x olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi doğru bir eşitsizlik ile bu durumu ifade eder?
A) |x – c| ≤ 2
B) |x – c| < 4
C) |x – c| ≤ 4
D) |x – c| ≥ 4
E) |x – c| > 2
Çözüm: Orta nokta c ise, kenarlara olan uzaklık yarı uzunluk farkıdır. Bu durumda uzun kenarın toplam uzunluğu 8 birimdir (çünkü farkı 4 birimse her iki tarafa 4 birimden toplam 8 birim). Yarı uzunluk 4 birimdir. Eşitsizlik, orta noktadan en fazla 4 birim uzaklıkla tanımlanır. Yani |x – c| ≤ 4 olmalıdır. Doğru cevap: C
Soru 3: Bir otoparkın girişinden çıkışına kadar olan mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür. Bir aracın otoparkın girişinden çıkışına olan uzaklığı x metre olmak üzere, araç çıkışa en fazla 4 metre yakınsa, bu durumu aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi tanımlar?
A) |x – 12| ≥ 4
B) |x – 6| < 4
C) |x – 12| ≤ 4
D) |x – 6| > 4
E) |x – 12| > 4
Çözüm: Aracın çıkışa olan mesafesi x – 12 ile ifade edilir. Eğer araç çıkışa en fazla 4 metre mesafede ise, bu şu anlama gelir:
|x – 12| ≤ 4 olmalıdır. Doğru cevap: C
Soru 4: Bir öğrenci bir sınavda aldığı puanı doğru hesaplamak için aşağıdaki duruma bakıyor: Puanı, 70 puan civarında en fazla 10 puan oynama yapabilir. Öğrencinin aldığı puan x olmak üzere, bu durumu gösteren mutlak değer eşitsizliği aşağıdakilerden hangisidir?
A) |x – 70| < 10
B) |x – 70| > 10
C) |x – 60| ≤ 10
D) |x – 70| ≤ 10
E) |x – 80| < 10
Çözüm: Öğrencinin puanı 70 puan civarında ve en fazla 10 puan oynama yapabilir. Yani puan 60 ile 80 arasında olacaktır. Bu eşitsizlik mutlak değerle |x – 70| ≤ 10 olarak ifade edilir. Doğru cevap: D
Soru 5: Bir sayısal doğruda merkezden (0) en fazla 5 birim uzaklıktaki noktalar arasında bir seçim yapılacaktır. Seçilecek noktanın koordinatı x olmak üzere, bu durumu gösteren mutlak değer eşitsizliği aşağıdakilerden hangisidir?
A) |x| < 5
B) |x| ≤ 5
C) |x| > 5
D) |x| ≥ 5
E) |x| ≤ 3
Çözüm: Merkezden en fazla 5 birim uzaklıktaki noktalar arasında seçim yapılacaktır. Bu, x koordinatının 0’dan en fazla 5 birim uzaklıkta olabileceğini ifade eder. Bu durumda mutlak değerle ifade edildiğinde |x| ≤ 5 olacaktır. Doğru cevap: B
Soru 6: |x – 3| < 5 mutlak değerli eşitsizliği aşağıdaki aralıklardan hangisine karşılık gelir?
A) (2, 8)
B) (-2, 8)
C) (-5, 5)
D) (3, 5)
E) (0, 10)
Çözüm: Verilen eşitsizlik |x – 3| < 5 biçimindedir. Kurala göre, |x – a| < b eşitsizliğinin aralık gösterimi (a – b, a + b) şeklindedir. Burada a = 3 ve b = 5. Bu durumda aralık:
(3 – 5, 3 + 5) = (-2, 8)
Doğru cevap: B
Soru 7: |x + 4| ≤ 7 mutlak değerli eşitsizliği aşağıdaki aralıklardan hangisine karşılık gelir?
A) (-11, 3)
B) (-3, 7)
C) [-11, 3]
D) (-7, 4)
E) [-3, 11]
Çözüm: Verilen eşitsizlik |x + 4| ≤ 7 biçimindedir. Bu eşitsizliği |x – (-4)| ≤ 7 olarak düşünebiliriz. Kurala göre, |x – a| ≤ b eşitsizliğinin aralık gösterimi [a – b, a + b] şeklindedir. Burada a = -4 ve b = 7. Bu durumda aralık:
[-4 – 7, -4 + 7] = [-11, 3]
Doğru cevap: C
Soru 8: |2x – 6| > 8 mutlak değerli eşitsizliğini aralığa çevirirsek aşağıdakilerden hangisi doğru olur?
A) x < -1 veya x > 7
B) x < 1 veya x > 5
C) x < 2 veya x > 6
D) x < -2 veya x > 4
E) x < 1 veya x > 4
Çözüm: Verilen eşitsizlik |2x – 6| > 8 biçimindedir. Bu eşitsizliği aralığa çevirmeden önce iki adımda işlem yapmalıyız.
Önce mutlak değerin içindeki ifadeyi sadeleştirelim:
|2(x – 3)| > 8
|x – 3| > 4
Kurala göre, |x – a| > b eşitsizliğinin aralık gösterimi (-∞, a – b) ∪ (a + b, ∞) biçimindedir. Burada a = 3 ve b = 4. Bu durumda aralık:
(-∞, 3 – 4) ∪ (3 + 4, ∞) = (-∞, -1) ∪ (7, ∞)
Doğru cevap: A
Soru 9: |x – 1| ≥ 3 mutlak değerli eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir?
A) (-∞, -2) ∪ (4, ∞)
B) (-∞, -3) ∪ (1, ∞)
C) (-∞, -2) ∪ (2, ∞)
D) (-∞, -1) ∪ (3, ∞)
E) (-∞, -1) ∪ (2, ∞)
Çözüm: Verilen eşitsizlik |x – 1| ≥ 3 biçimindedir. Kurala göre, |x – a| ≥ b eşitsizliğinin aralık gösterimi (-∞, a – b] ∪ [a + b, ∞) şeklindedir. Burada a = 1 ve b = 3. Bu durumda aralık:
(-∞, 1 – 3] ∪ [1 + 3, ∞) = (-∞, -2] ∪ [4, ∞)
Doğru cevap: A
