Alt kümelerin özellikleri: Her küme kendisinin de alt kümesidir. Boş küme tüm kümelerin alt kümesidir. A kümesi ve B kümesi birbirinin alt kümeleri ise bu iki küme eşit kümelerdir. B kümesinin A kümesinin alt kümesi olduğunu gösterip venn şeması ile gösterelim. B kümesinin her elemanı aynı zamanda A kümesinin de elemanı olduğu için B kümesi A kümesinin alt kümesidir.

A ve B iki küme olsun. A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise o zaman A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A⊂B şeklinde gösterilir. Bir kümenin kendisinden başka tüm alt kümelerine öz alt küme denir. n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2ⁿ  formülü ile bulunur. Öz alt küme sayısı ise alt küme sayısının 1 eksiğidir yani 2ⁿ - 1 formülü ile hesaplanır. Örneğin, A kümesi A = {a, b, c, d, e} elemanlarından oluşan 5 elemanlı bir küme ise A kümesinin alt küme sayısı 2 üzeri 5' den 32, özalt küme sayısı ise 1 eksiği yani 31'dir.

Soru: A = { x: x küçük eşit 5, x doğal sayıdır } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. 0 bulunmaz?
b. 0 bulunur?
c. 1 ve 2 bulunur?
d. 1 veya 2 bulunur?

Çözüm:  (x küçük eşit 5, x doğal sayı) ise x in alabileceği değerler; 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 tir. Bu durumda, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olur.
a. A kümesinden 0 sayısını çıkarırsak geriye 5 tane eleman kalır. Bu 5 tane eleman ile içinde 0 sayısı bulunmayan 2⁵ = 32 tane alt küme yazılabilir.
b. A kümesindeki 0 sayısı hariç geri kalan 5 eleman ile 2⁵ = 32 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine 0 sayısını eklersek A kümesinin 32 alt kümesinde 0 bulunmuş olur.
c. A kümesindeki 1 ve 2 sayısı hariç geriye kalan 4 tane eleman ile 2⁴ =16 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine hem 1 hem de 2 sayısını eklersek A kümesinin 16 alt kümesinde 1 ve 2 sayısı bulunmuş olur.
d. s(A) = 6 olduğundan A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2⁶ = 64 tür. A kümesindeki 1 ve 2 sayısı hariç geriye kalan 4 tane eleman ile 2⁴ = 16 tane alt küme yazılabilir. A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısından, içinde 1 ve 2 sayısı olmayan alt kümelerinin sayısını çıkardığımızda; içinde 1 veya 2 bulunan alt küme sayısını bulmuş oluruz. Buna göre, A kümesinin 64 - 16 = 48 alt kümesinde 1 veya 2 bulunur.

Alt Küme Nedir? Bir kümenin, elemanlarının herhangi bir sırayla sıralanmamış hallerine alt küme denir. Örneğin, {1, 2} kümesinin alt kümeleri {1}, {2} ve {1, 2}'dir.

Alt Küme Sayısı Formülü: Bir kümenin n elemanlı olduğunu düşünelim. O zaman bu kümenin alt küme sayısı 2^n'dir. Bu formül, bir elemanın bir alt küme içinde bulunup bulunmamasını düşünerek açıklanabilir. Her eleman için iki seçenek vardır: alt kümede bulunur veya bulunmaz. Dolayısıyla, n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2^n olur.

Örnek: {a, b, c} kümesinin alt kümeleri: {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} toplamda 2^3 = 8 adettir.

Permütasyon ve Kombinasyon ile İlişki: Permütasyon ve kombinasyon kavramları da alt küme sayısıyla ilgilidir. Permütasyonlar, bir kümedeki elemanların sıralanış şekillerini ifade ederken, kombinasyonlar ise sıralama olmaksızın seçim yapmayı ifade eder. Alt küme sayısı, kombinasyonlara benzer bir prensiple hesaplanabilir.

Alt küme sayısı formülü, kombinasyon formülü C(n, k) ile de ifade edilebilir. n elemanlı bir kümeden k eleman seçme şeklindeki kombinasyon sayısı C(n, k) şu şekilde hesaplanır: $$ Bu formülde $$ n faktöriyelini ifade eder.

Soru: Bir zarın atılması durumunda ortaya çıkabilecek alt kümelerin sayısı kaçtır?
Çözüm: Bir zar atıldığında ortaya çıkabilecek alt kümeler, zarın üst yüzlerinin kombinasyonlarına denk gelir. Zarın 6 yüzü olduğu için toplam alt küme sayısı
2⁶'dır. 2⁶= 64
Bu nedenle, bir zarın atılması durumunda ortaya çıkabilecek alt kümelerin sayısı 64'tür.

Alt kümelerin özellikleri: Her küme kendisinin de alt kümesidir. Boş küme tüm kümelerin alt kümesidir. A kümesi ve B kümesi birbirinin alt kümeleri ise bu iki küme eşit kümelerdir. B kümesinin A kümesinin alt kümesi olduğunu gösterip venn şeması ile gösterelim. B kümesinin her elemanı aynı zamanda A kümesinin de elemanı olduğu için B kümesi A kümesinin alt kümesidir.

A ve B iki küme olsun. A kümesinin tüm elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanı ise o zaman A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A⊂B şeklinde gösterilir. Bir kümenin kendisinden başka tüm alt kümelerine öz alt küme denir. n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2ⁿ  formülü ile bulunur. Öz alt küme sayısı ise alt küme sayısının 1 eksiğidir yani 2ⁿ - 1 formülü ile hesaplanır. Örneğin, A kümesi A = {a, b, c, d, e} elemanlarından oluşan 5 elemanlı bir küme ise A kümesinin alt küme sayısı 2 üzeri 5' den 32, özalt küme sayısı ise 1 eksiği yani 31'dir.

Soru: A = { x: x küçük eşit 5, x doğal sayıdır } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a. 0 bulunmaz?
b. 0 bulunur?
c. 1 ve 2 bulunur?
d. 1 veya 2 bulunur?

Çözüm:  (x küçük eşit 5, x doğal sayı) ise x in alabileceği değerler; 0, 1, 2, 3, 4 ve 5 tir. Bu durumda, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olur.
a. A kümesinden 0 sayısını çıkarırsak geriye 5 tane eleman kalır. Bu 5 tane eleman ile içinde 0 sayısı bulunmayan 2⁵ = 32 tane alt küme yazılabilir.
b. A kümesindeki 0 sayısı hariç geri kalan 5 eleman ile 2⁵ = 32 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine 0 sayısını eklersek A kümesinin 32 alt kümesinde 0 bulunmuş olur.
c. A kümesindeki 1 ve 2 sayısı hariç geriye kalan 4 tane eleman ile 2⁴ =16 tane alt küme yazılabilir. Bu alt kümelerin her birine hem 1 hem de 2 sayısını eklersek A kümesinin 16 alt kümesinde 1 ve 2 sayısı bulunmuş olur.
d. s(A) = 6 olduğundan A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2⁶ = 64 tür. A kümesindeki 1 ve 2 sayısı hariç geriye kalan 4 tane eleman ile 2⁴ = 16 tane alt küme yazılabilir. A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısından, içinde 1 ve 2 sayısı olmayan alt kümelerinin sayısını çıkardığımızda; içinde 1 veya 2 bulunan alt küme sayısını bulmuş oluruz. Buna göre, A kümesinin 64 - 16 = 48 alt kümesinde 1 veya 2 bulunur.