Yönlü açılar, başlangıç noktası aynı olan iki ışının arasında kalan açıların büyüklüğünü ve yönünü ifade eder. Yönlü açıların ölçüsü pozitif veya negatif olabilir. Pozitif açı, saatin tersi yönünde ölçülen açı olarak tanımlanırken, negatif açı, saat yönünde ölçülen açıdır. Yönlü açılar kavramı, özellikle trigonometri ve koordinat düzlemiyle ilgili konularda kullanılır. Yönlü açılar, açının başlangıç ve bitiş pozisyonlarına göre büyüklüğünü ve hangi yönde ölçüldüğünü anlamamıza yardımcı olur.

11. Sınıf Trigonometri Testleri

11. sınıf Yönlü Açılar – Açı Ölçü Birimleri ve Esas Ölçü Ders Notu

Bir Açının Yönü

Açı Ölçü Birimleri

1) Derece

2) Radyan

• Bir çemberin yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açısının ölçüsü 1 radyandır. (1 R)
• Bir çemberdeki merkez açının kaç radyan olduğunu bulmak için o merkez açının gördüğü yayın uzunluğu, yarıçap uzunluğuna bölünür.
• Bir çemberin çevresi $2.\pi .r$, yarım çember $\pi .r$ olduğundan, doğru açının (180°) ölçüsü π radyandır.
• 1 radyan yaklaşık 57°’dir. (3 radyan yaklaşık 171°) $3.14\dots R=180°)$

Çözümlü Sorular

Derece ile Radyanın Birbirine Dönüştürülmesi

• Doğru açının derece cinsinden değeri 180°, radyan cinsinden değeri ise π radyan olduğu için bunlardan birinin diğeri cinsinden değeri aşağıdaki bağıntı ile bulunur.
  

Çözümlü Sorular

Derecenin Alt Birimleri

• 1 derecenin 60’a bölünmesiyle 1 dakika, 1 dakikanın da 60’a bölünmesiyle 1 saniye elde edilir. (Saat birimleriyle aynıdır.)
  1° = 60′ (dakika)
  1′ = 60” (saniye) ⇒ 1° = 3600”
• Dakika (veya saniye) birimli iki açı arasında toplama veya çıkarma işlemi yapılırken elde olayı dikkate edilmelidir.

Çözümlü Sorular

Açı Ölçü Birimleri Çözümlü Sorular

Esas Ölçü

• 360°’den büyük bir açı değeri, 360°’ye bölündüğünde kalan değer, o açının esas ölçüsüdür.
  $n\in Z$ ve 0° ≤ θ < 360° olmak üzere
  α = n.360⁰ + θ ise α nın esas ölçüsü θ dır.
• 2π radyandan büyük bir açı değeri, 2π’ye bölündüğünde kalan değer, o açının esas ölçüsüdür.
  $n\in Z$ ve θ < 2π olmak üzere
  α = n.2π + θ ise α nın esas ölçüsü θ dır.
  
• Negatif bir açının esas ölçüsü, o açıya 360° (veya 2π radyan) eklenerek bulunur. Negatif açının esas ölçüsü her zaman pozitif olur.

Esas Ölçü Çözümlü Sorular

Konu Özeti

Yönlü açılar, özellikle trigonometri ve ileri matematik konularında önemli bir kavramdır. Koordinat düzleminde bir açının ölçümünü yaparken açının hangi yönde ölçüldüğünü bilmek önemlidir. Pozitif açılar, başlangıç doğrusu kabul edilen eksenden saatin tersi yönünde ölçülürken, negatif açılar ise saat yönünde ölçülür. Açıların birim çemberle ilişkisi de bu bağlamda önemli olup, açının değeri radyan ya da derece cinsinden ifade edilebilir. 11. sınıf matematik müfredatında bu konu hem açı ölçümü hem de trigonometri ile ilgili problemlerde sıkça karşımıza çıkar.

• Pozitif Açı: Saat yönünün tersine (yukarıdan başlayarak sola doğru) ölçülen açı.
• Negatif Açı: Saat yönünde (yukarıdan başlayarak sağa doğru) ölçülen açı.
• 360 Derece (Tam Açı): Bir tam dönüşü ifade eden açıdır.
• 180 Derece (Yarım Açı): Bir yarım dönüşü ifade eden açıdır.
• Radyan: Bir çemberin yarıçapı uzunluğundaki yay ile sınırlı olan merkez açı ölçüsüdür. 360 derece = $2\pi$ radyandır.
• Yönlü Açıların Gösterimi: Derece veya radyan cinsinden gösterilebilir. Örneğin, 90 derece = $\pi /2$ radyan.

Yönlü açılar negatif ve pozitif olabilmeleri nedeniyle koordinat düzleminde önemli bir yer tutar. Örneğin, bir noktayı saat yönünde hareket ettirmek için negatif açı kullanırken, saat yönünün tersine hareket ettirmek için pozitif açı kullanırız.

Çözümlü Örnek Test Soruları

Soru 1:
Aşağıdakilerden hangisi bir açının pozitif yönlü ölçüsüdür?

A) -45°
B) -180°
C) 270°
D) -360°
E) -90°

Soru 2:
315° açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 45°
B) 90°
C) 135°
D) 180°
E) 225°

Soru 3:
Bir açının ölçüsü -150° ise, bu açının pozitif esas ölçüsü nedir?

A) 30°
B) 210°
C) 300°
D) 150°
E) 90°

Soru 4:
-450° açısının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

A) 90°
B) 135°
C) 180°
D) 270°
E) 45°

Soru 5:
Bir açının ölçüsü 820° olduğuna göre, bu açının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 40°
B) 60°
C) 80°
D) 100°
E) 120°

Soru 6:
Aşağıdakilerden hangisi radyan cinsinden bir açı ölçüsüdür?

A) 90°
B) π/2
C) 45°
D) 120°
E) 360°

Soru 7:
360°’lik açı ölçüsü radyan cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) π
B) 2π
C) 3π/2
D) 5π/2
E) 4π

Soru 8:
-π/3 açısının pozitif esas ölçüsü nedir?

A) π/6
B) π/3
C) 2π/3
D) 5π/3
E) 4π/3